Ensemble infini

d’itération à des formules même très simples, en utilisant les nombres complexes, on entre dans un monde fabuleux, beau et étonnant de formes étranges. Les nombres complexes permettent donc d’étudier et de générer des objets fractals tels que les ensembles de Julia et de Mandelbrot. Mais qu’est ce qu’un nombre complexe ? On définit un nombre, noté i, tel que i2 = -1. Ce nombre n'est donc pas un réel car cette opération était jugée impossible par les mathématiques anciennes, puisqu’avec les nombres

possibles est Ω={FFF ; FFP ; FPF ; FPP ; PFF ; PFP ; PPF ; PPP}. La suite de caractères PFP est une éventualité de cette série de lancers. Événement[modifier le code] Un ensemble de résultats possibles définit un évènement. C'est un sous-ensemble de l'univers Ω. Il peut être décrit en extension (dans le cas d'un ensemble fini) ou par une description. Exemple 1: On lance un dé. L'univers est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. La partie A = {1 ; 2 ; 3} est un évènement décrit en extension. Cet évènement

encouragements seront accueillis avec plaisir. daniel.fredon@laposte.net mmaumy@math.u-strasbg.fr fbertran@math.u-strasbg.fr Ava n t - p r o p o s 1 Table des matières Partie 1 : Analyse combinatoire Fiche 1 Fiche 2 Fiche 3 Fiche 4 Le langage des ensembles Analyse combinatoire Fonctions génératrices Compléments sur les séries et les intégrales 4 8 16 20 Partie 2 : Probabilités Fiche 5 Fiche 6 Fiche 7 Fiche 8 Fiche 9 Fiche 10 Fiche 11 Fiche 12 Fiche 13 Fiche 14 Fiche 15 Fiche 16 Fiche 17 Fiche 18

semaine 12 Chapitre 09 : Eléments de logique et de théorie des ensembles I. Eléments de logique 1. Connecteurs logiques 2. Implication et équivalence 3. Règles de négation II. Méthodes de démonstration 1. Par implication 2. Par disjonction de cas 3. Par contraposition 4. Par l’absurde III. Notations et vocabulaire sur les ensembles 1. Appartenance : définition en extension et en compréhension d’un ensemble. Définitions de ∈, singleton et ensemble vide ∅ ou { }. 2. Quantificateurs : définitions de ∀, ∃ et ∃

théorie des ensembles Un ensemble est une collection d’objets finis, non ordonnées, à différencier de la séquence (où l’ordre est important) et du multi-ensemble (où les doublons sont acceptés)      Un ensemble : {A1, A2, …, An} est noté par concaténation de ses éléments : A1 A2 An Une séquence est notée : Les notations A1 A2 A3 et A2 A1 A3 sont équivalents L’ensemble A1 A1 A2 n’existe pas A1 A2 U A3 sera noté A1 A2 A3 Définition 2 : Attributs et domaines Soit U un ensemble de noms

. . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 12 14 15 2 Le Th´or`me de Baire et l’axiome du choix d´pendant e e e 3 Fonctions continues nulle part d´rivable e 19 3.1 Ensembles maigres et th´or`me de Baire . . . . . . . . . . . . 19 e e 3.2 Un exemple connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Introduction Ce travail de fin de troisi`me ann´e de baccalaur´at en sciences math´me e e e atiques s’articule

1.1 D´nombrement et notations e Op´rations sur les ensembles e Soit A et B deux ensembles. Nous notons A∪B la r´union de ces ensembles, A∩B leur intersection, e A × B le produit cart´sien, c’est ` dire {(x, y) | x ∈ A et y ∈ B}. La diff´rence ensembliste de A et B e a e se note A − B ou A\B. Il s’agit de {x ∈ A | x ∈ B}. Finalement P(A) est l’ensemble des parties de / A, c’est-`-dire un ensemble dont les ´l´ments sont les sous-ensembles (=parties) de A. a ee La r´union et l’intersection se g´n´ralisent

́efinition: Un ensemble E est fini si il n’est pas en bijection avec lui-mˆeme priv ́e d’un ́element. Un ensemble est infini si il n’est pas fini. On voit tout de suite deux difficult ́es avec cet exemple : d’abord il faut avoir d ́efini “ensemble” (ce que nous ne ferons pas) et “ˆetre en bijection” (ce qu’on fera au chapitre suivant) pour que la d ́efinition ait un sens ; ensuite il n’est pas imm ́ediat que la d ́efinition donn ́ee co ̈ıncide avec l’id ́ee intuitive que l’on a d’un ensemble fini (c’est

vendre à tout instant ; On peut emprunter et vendre à découvert ; Les échanges ont lieu sans coûts de transaction ; On peut emprunter et prêter au même taux constant r. 1.2 Arbitrage Quelles sont les évolutions possibles du marché ? Ω : ensemble des états possibles du marché ; P : Probabilité réelle (ou en tout cas anticipée) de survenance de chacun des états. Quelles sont les stratégies d’investissement ? Définition 1.2.1 Un portefeuille autofinancant est une stratégie d’achat ou de vente

sont positifs. Théorème Soit un polyèdre convexe (il peut être non borné) ensemble des solutions réalisables de (P). L’ensemble des points extrémaux2 de correspond à l’ensemble des solutions de base réalisables. Par ailleurs, tout point x d’un polyèdre convexe borné est combinaison linéaire convexe3 de points extrêmes de . Solutions optimales Le maximum de la forme linéaire sur le polyèdre convexe est : soit infini soit fini et obtenu en au moins un point extrémal. Si le maximum est atteint