Entier algébrique

obtenus est une suite strictement décroissante d’entiers positifs, elle est donc nécessairement finie, i.e. il existe un entier n 1 tel que rn = 0, l’ensemble cherché est donc D = D rn−1 (avec la convention r0 = b). • Si = [X ] : la suite des degrés des restes obtenus est une suite strictement décroissante d’entiers positifs, elle est donc nécessairement finie, i.e. il existe un entier n 1 tel que R n = 0, l’ensemble cherché est donc D = DR n−1 (avec la convention R0 = b). Da,b est l’ensemble des diviseurs

hypothèse, on a uk +1 = k +2 k +2 1 1+ uk 1 + proposition est héréditaire. k +1 k +1 1 . Finalement, pour tout entier n ≥ 0, un = n +1 Exercice 3 Vérifions que la proposition est vraie pour les premières valeurs de n : N 32n − 2n 0 0 7 77 721 1 2 3 32n − 2n 7 0 1 11 103 On suppose que pour un entier k quelconque 32k − 2k est un multiple de 7 autrement dit 32k − 2k = 7A où A est un entier. Montrons sous cette hypothèse que 32(k +1) − 2k +1 est lui aussi un multiple de 7. Comme 32k − 2k = 7A ,

nous noterons n! le produit 1 ´ 2 ´ 3 ´ ... ´ n, ce produit s'appelle "factorielle n". On convient que 0! = 1. Exercices sur les factorielles : · Démontrer que 6! ´ 7! = 10! (sans calculer 10!) (n + 1)! n! · Démontrer que tout entier k : · Simplifier Puis que pour tout entier n non nul : (k + 1)! - k! = k ´ k! n! = 1 + å kk ! k =0 n -1 1. Principes de base du dénombrement On rappelle que le cardinal d'un ensemble fini E, noté Card(E), représente son nombre d'éléments. Par exemple avec

1. A propos des nombres entiers Aristote (384-322) Pour les PYTHAGORICIENS, eux aussi, le seul nombre, c’est le nombre mathématique ; seulement le nombre n’est plus séparé, mais, au contraire, c’est lui qui, dans ce système, constitue les substances sensibles. Ils construisent, en effet, l’Univers entier au moyen de nombres ; seulement ces nombres ne sont pas composés d’unités abstraites, mais ils attribuent aux unités l’étendue. Quant à expliquer la constitution de la première unité douée d’étendue

k = – --- . Ainsi G ( x ) = ----------- – --- 2 x+1 2 4 2 Objectifs À la fin de ce chapitre, les élèves doivent : • connaître la définition de la fonction ln ; • connaître le signe de ln ( x ) en fonction de x ; • connaître les propriétés algébriques de ln ; • connaître les limites de ln en 0 et en + ∞ ; • connaître le tableau de variation et la courbe de ln ; • connaître la définition des nombres e et em pour m réel ; • savoir résoudre quelques équations et inéquations où intervient ln ; • savoir

successives Certaines équations à coefficients naturels ont leurs solutions dans aε , bε x = a+b ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation 1 + x = 0 et x ε est vide. On peut contruire une extension de , appelée ensemble des entiers relatifs et notée , dans laquelle l'équation précédente possède une solution notée x = -1. Les équations suivantes possèdent une solution entière aε , bε aε , bε x = a−b ε x=ab ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation 2 x

barycentre des points A’(1) ; B’ (-2) et C’(2) ( P ) dans EXERCICE 8 3 3 A 2i 3 ; B 6 + 2i 3 ; C  + i  2  2   ( ) ( ) Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe définie par : S ( B) = C S ( A ) = A et n est un entier naturel différent de zéro Soit f n l’application de P dans P qui à tout point M d’affixe z associe le point M n d’affixe Z n tel que Z n = λ n z + 2i 3 1 − λ n Montrer que S = f1 ( ) avec λ = i −i 3 www.succes-assure.com EXERCICES - CORRIGES

réel r appelé raison de la suite (an )n∈N tel que, pour tout n entier naturel: an+1 = an + r. * si r < 0 alors la suite est décroissante * si r = 0 alors la suite est constante * si r > 0 alors la suite est croissante 3 Propriétés. a) lien entre les termes et le premier. an = a1 + (n − 1) r * si a1 est le premier terme, alors pour tout n entier naturel non nul : an = a0 + n r * si a0 est le premier terme, alors pour tout n entier naturel : b) somme S des termes d’une progression arithmétique:

SUJET 1 SUJET NATIONAL, JUIN 2011 Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par fn la fonction définie sur R par : fn (x) = xn e−x . On note Cn sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i, j) du plan. Partie A Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe Ck où k est un entier naturel non nul, sa tangente Tk au point d’abscisse 1 et la courbe C3 . 4 La droite Tk coupe l’axe des abscisses au point A de coordonnées ;0 . 5 1. a) Déterminer

nombres. 2 ◗ Lire les deux entiers a et b ◗ Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b ◗ TANT QUE r est différent de 0 – Remplacer a par b – Remplacer b par r – Remplacer r par le reste de la division euclidienne de a par b ◗ Afficher la valeur de b ◗ Lire le nombre n ◗ Écrire tous les entiers entre 2 et n ◗ Pour chacun de ces entiers, en commençant par 2 : – Si il n’est pas rayé Alors rayer tous ses multiples sauf lui-même ◗ Écrire la liste des entiers non rayés ◗ Lire le nombre