Entier algébrique

Propriété 1 Soient a et b deux réels strictement positifs et n est un entier naturel, alors : o ln(ab) = ln(a) + ln(b). 1 o ln = − ln(a). a a o ln = ln(a) − ln(b). b o ln(an ) = n ln(a). √ 1 o ln ( a) = ln(a). 2 1 . x En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en multiplications. Exemple 3 Transformations d’expressions numériques et algébriques :   ln 192 16 = ln = ln(16) − ln(9) = ln(24 ) − ln(32 ) = 4 ln(2)

Propriété 1 Soient a et b deux réels strictement positifs et n est un entier naturel, alors : ♦ ln(ab) = ln(a) + ln(b). 1 ♦ ln = − ln(a). a a ♦ ln = ln(a) − ln(b). b ♦ ln(an ) = n ln(a). √ 1 ♦ ln ( a) = ln(a). 2 En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en multiplications. Exemple 3 Transformations d’expressions numériques et algébriques : 192 16 = ln = ln(16) − ln(9) = ln(24 ) − ln(32 ) = 4 ln(2) − 2 ln(3)

ln(2α) + 1 = α. 2 Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = ln(2un ) + 1. On désigne par Γ la courbe d’équation y = ln(2x) + 1 dans un repère orthonormal (O ; i, j). Cette courbe est donnée ci-dessous. y 4 Γ 3 2 1 C j –1 O i 1 2 3 4 5 6 7x –1 –2 –3 a) En utilisant la courbe Γ, construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite. b) Démontrer que pour tout entier naturel n, 1 un u n+1 3. c) Démontrer que la suite (u n ) converge

) sont des compléments de cours facultatifs. Le chapitre 0 rappelle les notions prérequises et les dénitions les plus importantes. Il n'est pas traité en cours Table des matières 0 Rappels 0.1 L'ensemble 0.1.1 0.1.2 0.2 0.3 5 N des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 8 10 12 14 16 18 19 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriété fondamentale de

L’idée de suite est présente très tôt dans l’histoire des mathématiques, dès l’Antiquité. Mais il faut attendre la fin du xixe siècle pour voir émerger la définition actuelle, proposée par G. Peano, d’une suite comme fonction définie sur l’ensemble N des entiers naturels. La notion de suite ne peut être dissociée de celles de mouvement, de quantité en devenir, de dynamique, d’objet concret évoluant vers quelque objet idéal. On ne peut pas vraiment faire un historique de l’idée en tant que telle, car il n’y

| |Le nombre de p – uplets d’éléments de E est [pic] | Remarque [pic] 6/Notion d’arrangement  Définition  Soit E un ensemble de cardinal [pic] et p un entier naturel /[pic]. On appelle arrangement de p éléments de E, tout p-uplet d’éléments de E distincts 2 à 2. Théorème |Soit [pic];[pic] ; le nombre d’arrangement de p-éléments d’un ensemble contenant n éléments est[pic]

des nombres entiers naturels, des fractions et des nombres rationnels, des nombres à signe, des décimaux, des nombres réels... I/- Le corps des nombres complexes. Le plan complexe. 1) Définition et conventions d’écriture. Définition 1 : 1/- Chaque couple ( x, y ) de nombres réels définit un unique nombre complexe z noté x  iy ou x  yi. 2/- x est appelé partie réelle de z et est noté Re(z) 3/- y est appelé partie imaginaire de z et est noté Im(z). 4/- x  iy est appelé forme algébrique de z. 5/- L’ensemble

dans l’urne B. a. Quelle est la probabilité pour que les deux urnes ne contiennent chacune que des boules de même couleur ? b. Quelle est la probabilité pour que les deux urnes contiennent chacune 5 boules blanches et 5 boules noires ? 2. Soit x un entier tel que 0 x 10. On place maintenant x boules blanches et 10 − x boules noires dans l’urne A et les 10 − x boules blanches et x boules noires restantes dans l’urne B. On procède à l’expérience E : On tire au hasard une boule de A et on la met dans

euclidienne de a − 1 par b. Déterminer pour tout n ∈ N, le quotient de la division euclidienne de (abn − 1) par bn+1 . PGCD et PPCM Exercice 9 [ 01195 ] [correction] Déterminer le pgcd et les coefficients de l’égalité de Bézout (1730-1783) des entiers a et b suivants : a) a = 33 et b = 24 b) a = 37 et b = 27 c) a = 270 et b = 105. Exercice 10 [ 01196 ] [correction] Soient a, b, d ∈ Z. Montrer l’équivalence : (∃u, v ∈ Z, au + bv = d) ⇔ pgcd(a, b) | d Exercice 11 [ 01197 ] [correction] Montrer

comme le précise les nouveaux programmes de l’école élémentaire (pour ne s’en tenir qu’à eux), en passant par le repérage de l’espace, les mesures, les grandeurs. A la fin du cycle III, un enfant doit être capable de savoir manipuler les nombres entiers naturels, mais aussi, décimaux et fractionnels ; il doit savoir résoudre des problèmes et être capable de lire et de produire des figures géométriques simples, mais aussi de pouvoir encoder et décoder des tableaux à deux entrées… Tout cela est conséquent