Entier algébrique

c'est-à-dire a ≡ a [mod p ] p Petit théorème de Fermat : Si p est premier et a un entier naturel alors p divise a − a , p Preuve : Montrons tout d’abord que pour tout entier k tel que1 ≤ k ≤ p − 1 , p divise   k     p  p  p p!  = donc   k ! ( p − k )! = p × ( p − 1 )!    k  k ! ( p − k )! k     p donc p divise   k ! ( p − k )! k    or p est premier avec k ! ( p − k )! ( sinon (Gauss) il diviserait l’un des facteurs du produits ce qui n’est pas possible

du code. Un code à barres est symbolisé par le tableau : R C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 5 points 4 018474 332 18 9 R est la clé du code et C1 , C2 , . . . , C12 sont les chiffres du code. R, C1 , C2 , . . . , C12 sont donc des entiers comris entre 0 et 9. Les chiffres de rang impair (C1 , C3 , ..., C11 ) sont dans les cases grisées, ceux de rang pair dans les cases blanches. La clé R est calculée de telle sorte que la relation suivante soit vérifiée : 3×(somme des chiffres de rang

3. a) vn =   +   + ... +    soit  n  n  n  n 12 + 2 2 + ... + n2 vn = . n3 n( n + 1)( 2 n + 1) ( n + 1)( 2 n + 1) 1 = . Ainsi vn = 3 × n 6 6 n2 b) Pour tout entier n  2, 2 n2 + 3n + 1 1 1 1 vn = = + + . 6 n2 3 2 n 6 n2 1 1 1 = lim 2 = 0 , donc lim vn = . Or lim n →+ ∞ 2 n n →+ ∞ 6 n n →+ ∞ 3 c) Pour tout entier n  2, 1  n 1  0 1 1 vn − un = f   − f   = f (1) − f (0) .  n n  n n n n 1 Or f (1) = 1 et f (0) = 0 donc vn − un = d’où on déduit n 1 que vn = un − . n 1 1 1 Or

= 5 3 5 × 3 15 5 3) Diviser Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse. Exemple : 3 7 3 4 12 ∶ = × = 5 4 5 7 35 III. Puissances 1) Formules a et b sont des nombres décimaux relatifs, b ≠ 0; m et n sont des nombres entiers relatifs 1) am × an = am+n 4)(am )n = am × n 2) am = am−n an 5) (a × b)n = an × bn 3) 1 = a−n an a n an 6) ቀ ቁ = n b b Exemples : 1) (−2)−3 × (−2)5 = (−2)−3+5 = (−2)2 4) (102 )3 = 102×3 = 106 2) 104 = 104 –

est continue sur [ a ; b ]. Cette fonction n’est pas continue sur [ a ; b ]. 2° Exemple de fonction non continue : la fonction partie entière La partie entière de x, notée E(x), est définie de la façon suivante : Si x ∈ [ n; n + 1 [ avec n entier relatif , alors E(x) = n . Représentation graphique : y La fonction E(x) est continue sur l’intervalle [ 0 , 1 [ mais n’est pas continue sur l’intervalle [ 0 , 2 [. 1 O 1 2 x 3° Propriété des valeurs intermédiaires a - Théorème

´crire des math´matiques e e — Les phrases 2 — Les paragraphes 4 — D´montrer 6 e 2 8 14 18 1 Ensembles et applications ´e — La th´orie axiomatique des ensembles 8 — El´ments de th´orie na¨ des ensembles 9 — Applications 11 e e ıve 2 Les entiers naturels — L’ensemble I et la r´currence 14 — Ensembles finis 15 N e 3 Arithm´tique e — Divisibilit´ et division euclidienne 18 — Plus grand commun diviseur 19 — Th´or`me de Bezout 20 — Nombres e e e premiers 22 4 Structures alg´briques g´n´rales

deux résistances défectueuses ? Exercice 3 Une classe compte 30 élèves dont 20 filles. A chaque cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard un élève de la classe, sans se rappeler quels élèves il a déjà interrogés. On considère un entier positif ou nul et on note la variable aléatoire qui correspond au nombre de filles interrogées au cours de jours consécutifs. 1) Quelle est la loi de ? 2) Quelle est la probabilité que sur 10 jours consécutifs, soient interrogées 4 filles exactement

. 3 3 Avec xA = 2, yA = 3, xB = - 4 et yB = 1, on obtient : a = - 2, b = 6 et c = - 14. Thème 2 : La structure alternative ou test 3 4 6 5 10 6 15 7 21 8 28 9 36 10 45 3. b) u100 = 4 950 et u2012 = 2 023 066. 6 1. a) Tant que le nombre entier aléatoire obtenu est différent de 6, on ajoute 1 au compteur. Non, on ne peut pas prévoir le nombre de passage dans cette boucle. b) La variable a est initialisée à 0 au début puisqu’on n’a pas encore simulé le lancer du dé. 1. a) 0 ou 1. 1 b) 0

; alors vn tend vers + 3 quand n tend vers + 3. • Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites. Démontrer que la suite ^q nh , avec q 2 1, a On démontre par récurrence que pour a réel strictement positif et tout entier naturel n : pour limite + 3 . ^1 + ahn H 1 + na . • Déterminer la limite éventuelle d’une suite On peut étudier des situations où intervient géométrique. la limite de la somme des premiers termes d’une suite géométrique. • Utiliser le théorème

dénombrable d’évènements, c’est un point technique qu’on ne justifiera que dans un cours de 3 ème année d’université. Rappelons qu’un ensemble E avec une infinité d’éléments est dit dénombrable si il existe une bijection entre E et l’ensemble N des entiers positifs: l’ensemble Q des nombres rationnels est dénombrable, le segment [0,1] ne l’est pas, comme nous l’avons vu en première année. Finalement, ce point délicat: "on ne considère pas nécessairement tout sous ensemble A de Ω comme un élément de