Entier naturel

un algorithme en français qui renvoie les éventuels couples d’entiers naturels (x, y) vérifiant : x2 − 13y 2 = 1 . (I) y 200 3. Programmer cet algorithme sur calculatrice et donner les couples d’entiers naturels (x, y) solutions du système (I). On ne demande pas d’écrire le programme sur la copie. Problème : matrices «toutes-puissantes» Notations et objectifs Dans tout le texte, K désigne le corps R ou C et p un entier naturel non nul. On note Mp (K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de

Pise datant de 1225, on trouve l’égalité : (a2 + b2) (c2 + d2) = (ac + bd)2 + (bc − ad)2 où a, b, c et d sont des réels. 1) Démontrer cette égalité. 2) Utiliser cette égalité pour écrire 13 × 41 sous la forme d’une somme de 2 carrés d’entiers naturels. 3) Même question pour 82 × 40. III)Soient : I, l’ensemble des réels x tels que −5 < x < 3 J, l’ensemble des réels x tels que x < 1 K, l’ensemble des réels x tels que x > 1 ou x < − 2 1) Ecrire I, J et K sous forme d’intervalles ou de réunions

Spé MP 1 Polynômes n n 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n ∈ N. ∀a ∈ K, P(X) = k=0 P(k) (a) (X − a)k et en particulier P(X) = k! k=0 P(k) (0) k X . k! Pour tout polynôme P et tout entier naturel k, le coefficient de Xk dans P est ak = P(k) (0) . k! 2) Racines d’un polynôme Ordre de multiplicité d’une racine. (Pour a ∈ K et k ∈ N) a est racine de P d’ordre k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X − a)k Q et Q(a)

: 144 949,2 × 1,2 = 173 939,04 MW est une suite géométrique car on multiplie par 1,2 pour passer d'un terme au suivant. 2° a La suite = 1,2 Autrement dit : on a pour tout entier naturel : b = × = 120 791 × 1,2 3° a 250 000 1,2 ≥ 120 791 ln 1,2 ≥ ln car ln est une fonction croissante ln 1,2 ≥ ln ≥ b Le plus petit entier vérifiant 1,2 , ≈ 3,99 250 000 120 791 car ln 1,2 > 0 ≥ est 4. Or, d'après la question a cette inéquation admet pour solution ≥ 4. Ainsi à partir de l'année 2012

aléatoires indépendantes si et seulement si pour tout entier i tel que 1 6 i 6 n et pour tout entier j tel que 1 6 j 6 m p((X = xi) ∩ (Y = yi)) = p(X = xi) × p(Y = yj). Formule des probabilités totales A1, A2, . . . , An sont n événements (n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2) tels que : • chaque événement Ai a une probabilité non nulle, • deux événements quelconques Ai et Aj, i 6= j, sont incompatibles (c’est-à-dire que pour tous entiers distincts i et j tels que 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 n on

Calculez ua et ulO• u2=-1,92,u4=-1,2E ml Calculez ua et us' an et Pn sont respective- ment l'aire et le périmètre du domaine en vert sur la figure ci-contre dans un repère orthonormé. a} Calculez an et Pn en fonction mm j Pour tout naturel un-: = Tous les termes sont non Trouvez q. O=+-T----nL-nL-+-' lm) (un) n'est pas constz - den. b} Vérifiez que les suites (an) et (Pn) sont arithmétiques. 2u2 = 3u1 ua' Trouvez sa Jë ::0 ml a} On aperçoit, dans

grisée ? A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 3 Un cahier s’échange contre 3 crayons. Une règle s’échange contre 2 crayons. Combien a-t-on de règles en échange de 2 cahiers ? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 4 Gagou écrit pour Kanga le plus petit entier naturel dont le produit des chiffres vaut 24. Quelle est la somme des chiffres du nombre écrit par Gagou ? A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 5 La moyenne de deux nombres est 2013. Si l’un est 1013, quel est l’autre ? A) 1000 B) 1026 C) 2026

deux classes distinctes, mais elle peut aussi sur une seule et même classe (Association réflexive). Multiplicité : 1 0..1 N M..N * 0..* 1..* N..* N,M,P Un et un seul (notation facultative) 0 ou 1 Exactement N, avec N un entier naturel De M à N, avec M et N des entiers naturels plus grand que 1 Plusieurs 0 à plusieurs 1 à plusieurs De N à plusieurs (N ou plus) Soit N, soit M, Soit P Tout écrivain a écrit au moins une œuvre : Contrainte sur association : Contrainte ensembliste Ce type de contrainte

2eme Partie : Un r´ sultat d’approximation e A. Quelques r´ sultats pr´ liminaires e e 1. (a) Justifier que pour tout r´ el x > 0, ln x e (b) En d´ duire que pour tout entier n e 2. (a) Justifier que pour tout r´ el x, ex e (b) En d´ duire que pour tout entier n e (c) Montrer que pour tout entier n (d) En d´ duire que pour tout entier n e ´ Epreuve de Math´ matiques I e x − 1. 0. (1 − t2 )n . u2 −u . ne u 1 et tout u ∈ [0, n], e−u − (1 − n )n x + 1. 1 et tout r´ el t ∈ [0, 1], (1 − t)n ent e

et (Q , ×) sont-ils isomorphes ? Exercice 18 Centrale MP [ 02363 ] [correction] Quel est le plus petit entier n tel qu’il existe un groupe non commutatif de cardinal n ? Exercice 19 Centrale MP Montrer que [ 02366 ] [correction] √ x + y 3/x ∈ N, y ∈ Z, x2 − 3y 2 = 1 est un sous-groupe de (R+ , ×). Exercice 20 Centrale MP [ 02368 ] [correction] Soit n un entier naturel non nul, (e1 , . . . , en ) la base canonique de E = Rn . Soit Sn l’ensemble des permutations de {1, 2,