Entier naturel

fr/~parisse/install_fr#xcaswin) On considère l'équation ( E) : x 2 +bx+c=0 avec b2 −4 c>0 . On note x1 et x 2 les solutions de l'équation ( E) . Le but de l'exercice est de trouver une méthode à l'aide d'un ordinateur pour calculer les n sommes x1 +x n , avec n entier naturel quelconque. 2 Partie I On s'intéresse au cas particulier où b=−2 et c=−1 c'est à dire à ( E) : x 2 −2x −1=0 A) Calcul des premières valeurs de la somme. 1)a) Résoudre l'équation ( E) . On note x1 et x 2 les solutions. b) Calculer S =x 1

points Mk(3k+1, -4k-1) lorsque k décrit l’ensemble des entiers relatifs. 2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en M-1(-2 ; 3). 3. Soit s la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M' d’affixe z' = [pic]. Déterminer l’image de A par s, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de s. 4. On note B1 l’image de B par s et pour tout entier naturel n non nul, Bn+1 l’image de Bn par s. a. Déterminer

On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. [0,75pt] 2. (a) Déterminer la fonction h telle que, pour tout entier naturel n, unÅ1 Æ h(un). [0,5pt] (b) Représenter dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les cinq permiers termes de (un) sur l’axe des abscisses. [1pt] 3. (a) Prouver que la suite numérique (vn) définie pour tout entier naturel n par vn Æ un ¡2 est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme. [1,25pt] (b) Exprimer vn puis un

juin 2013 A. P. M. E. P. Baccalauréat ES 2. On définit la suite (un ) par : u0 = 600 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,7un + 210. On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite (un ) : A B un 600 n 0 1 2 1 2 3 4 La formule à écrire dans la cellule B3 pour calculer u1 est = B2*0.7 + 210 ; on recopie cette formule dans les cases B4, B5, etc. 3. On pose, pour tout entier naturel n : v n = un − 700 ; donc un = v n + 700. a. v n+1 = un+1 − 700 = 0,7un + 210 − 700 = 0,7(v n + 700)

**** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace de E) ⇔ (il existe i ∈ 1, n / j=i Fj ⊂ Fi ). no 3 (** I) : E = Kn où K est

 2n  2n2  2n3 bn  sin  n n cn  3n  7n . 3 2-17 : Limite d’une somme On considère la suite  un n1 définie par : n un   n 1 k  n11  n 1 2 ...  n  1n 1  n 1 n . k1 1. Montrer que, pour tout entier k   1 ; n  , on a 2. En déduire que, pour tout n de  : 1 1 1   . n n n k n1 n n  un  . n1 n n   est convergente et préciser sa limite. 3. Montrer que la suite u n 2-18 : Limite d’une suite - QCM Dire si les

deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0. Propriété 1 : si deux suites (un) et (vn) sont adjacentes avec (un) croissante et (vn) décroissante alors pour tout entier naturel n, vn >un. Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en

principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique L’élève est capable de : - écrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000 ; - calculer : addition, soustraction, multiplication ; - diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas où le quotient exact est entier) ; - restituer et utiliser les tables d’addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; - calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions

admet que : la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1 ; s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ; s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6. On note, pour tout entier naturel n non nul : Gn l’évènement « le joueur gagne la n-ième partie » ; 0,8 OAB est donc effectivement rectangle isocèle en A . la proposition 1 est vraie. 2. Soit ( ∆ ) l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z − i| = |z + 2i|. → Proposition

Chapitre 1 Suites géométriques 1. Page d’ouverture • Énigme ✱ (Sn ) est la suite définie pour tout nombre entier n, par : 1 1 1 Sn = 1+ + 2 + …+ n . 2 2 2 En utilisant la formule de la somme des termes d’une suite géométrique, pour tout nombre entier naturel n, 1 n+1 1– ⎛ 2 1 n+1⎞ = 2 ⎜1– Sn = 2 ⎟⎠ 1 ⎝ 1– 2 ⎛ 1n 1 n+1⎞ = 2 – S n = 2 ⎜1– 1+ . 0. 2 ⎟⎠ 2 ⎝ Donc la somme des aires des carrés ne dépassera pas 2 m². () () () () • Énigme ✱ ✱ 1 7 8 5 4    1. B et III.   2. A et II. 3. C et I