Entier naturel

deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0. Propriété 1 : si deux suites (u ) et (v ) sont adjacentes avec (u ) croissante et (v ) décroissante alors, pour tout entier naturel n, v > u . Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise

deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0. Propriété 1 : si deux suites (u ) et (v ) sont adjacentes avec (u ) croissante et (v ) décroissante alors, pour tout entier naturel n, v > u . Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte

pour inscrire un rectangle d’aire 0,2 m² ? b) Par lecture graphique, déterminer l’aire maximale recherchée au centième près. c) Pour cette aire, le quadrilatère DEFG est-il un carré ? EXERCICE 3 (2 points) Soit n un nombre entier naturel non nul et An le nombre entier naturel dont l’écriture décimale ne contient que le chiffre 1 répété n fois : A n  111...1  n fois 1. Pour quelles valeurs de n le nombre An est-il divisible par 11 ? Justifier. 2. Pour quelles valeurs de n le nombre An est-il

décroissante.       Exercice 4 On considère la suite (xn) des entiers naturels dont le dernier chiffre est égal à 3 : x0 = 3, x1 = 13, x2 = 23, etc... a) Quelle est la nature de cette suite ? Exprimer xn en fonction de n. On passe d'un terme de (xn) au suivant en ajoutant 10, il s'agit donc d'une suite arithmétique de raison 10 et de premier terme 3. On en déduit que xn = 3 + 10n. b) Calculer la somme de tous les entiers naturels inférieurs à 1000 dont le dernier chiffre est égal à 3. Le dernier

forme intégrale. k2 n i) Pour n ∈ N∗ , posons Sn = k=1 n 1 . D’après a), k2 π Sn = k=1 0 n t2 − t cos(kt) dt = 2π π 0 t2 −t 2π n cos(kt) dt. k=1 ii) Calcul de k=1 cos(kt). 1er calcul. Soit t un réel et n un entier naturel non nul. n n n n cos(kt) = k=1 k=1 Re(eikt ) = Re k=1 n eikt = Re k=1 (eit )k . • Si t ∈ 2πZ alors chaque cos(kt) vaut 1 et dans ce cas, k=1 cos(kt) = n. • Si t ∈ 2πZ, alors eit = 1 et dans ce cas / n n cos(kt)

couple (3, 5)) est de la forme (6n - 1, 6n + 1) pour un certain entier n. En effet, toute série de trois nombres entiers naturels consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; l'entier qui se trouve entre les deux nombres premiers jumeaux est à la fois ce multiple de 2 et ce multiple de 3, car cela ne peut pas être l'un des nombres premiers. Il est possible de démontrer que, pour tout entier m \ge 2, le couple (m, m + 2) est constitué de nombres premiers

coefficients de la série de Fourier S π pour une valeur x quelconque du nombre réel α tel que 0 < α < . 2 a. Calculer a0 , valeur moyenne de la fonction f sur une période. b. Déterminer b n , n désignant un nombre entier naturel strictement positif. c. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on a: an = 2 1 − (−1)n sin(nα). nπ π . 3 3. Déterminer la valeur α0 de α pour laquelle on a3 = 0. 4. Pour toute la suite de l’exercice, on se place dans le cas où α = Rappels : Si

seconde, … On remplace l’évolution continue par une succession de photos prises à intervalles réguliers. Définition Une suite, notée (un) avec n ∈N, est une succession infinie de nombres un indexés (numérotés) par un nombre n qui est un entier naturel, soit u0, u1, u2, u3, … En général le terme initial est u0, mais la suite peut parfois commencer par u1 , ou par u2 , selon les circonstances. Comment se donne-t-on une suite ? Le plus souvent, Une suite est définie • par une relation

On se propose d’étudier la suite ( un )n∈ℕ , définie par la donnée de u0 = 0 et par la relation, valable pour tout entier naturel n : un +1 = un 2 + 1 . 2 1) a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : 0 ≤ un < 1 . b) Étudier les variations de la suite ( un ). c) Déduire des questions précédentes que la suite (un) converge et donner sa limite. 2) Pour tout entier naturel n, on pose : vn = 1 − un . 1 1 1 a) Montrer que lim ( − )= . n →+∞ v vn 2 n +1 b) Utiliser le résultat admis en début

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Centres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Résolubilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1 1 Groupe Sn Soit n un entier naturel non nul. Dénition On note Sn l'ensemble des permutations de l'ensemble {1, ... ,n} c'est à dire l'ensemble des bijections de {1, ... ,n} vers {1, ... ,n}. Proposition 1.0.1 (Sn ,◦) est un groupe. Démonstration L'identité est une permutation