Entier naturel

2 ALGEBRE Exercice 2-1 Soit n un entier naturel, n 2. On note E = Rn X ], l'espace vectoriel des fonctions polyn^mes a coe cients reels, de degre inferieur ou egal a n. o Soit a0 a1 : : : an , (n+1) reels distincts ou non. Pour tout j 2 N, P (j) designe la derivee d'ordre j du polyn^me P . o Montrer que l'application : n P (P Q) 7! P (j) (aj )Q(j) (aj ) j =0 de nit un produit scalaire sur E . Solution : On montre facilement que ( ) est une forme bilineaire, symetrique, gr^ce a la a linearite

sont des compléments de cours facultatifs. Le chapitre 0 rappelle les notions prérequises et les dénitions les plus importantes. Il n'est pas traité en cours Table des matières 0 Rappels 0.1 L'ensemble 0.1.1 0.1.2 0.2 0.3 5 N des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 8 10 12 14 16 18 19 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriété fondamentale de N

commande ./prog. 4 Chapitre 2 Variables et constantes 2.1 Les constantes Constantes entières 1,2,3,... Constantes caractères ’a’,’A’,... Constantes chaînes de caractères "Bonjour" Pas de constantes logiques Pour faire des tests, on utilise un entier. 0 est équivalent a faux et tout ce qui est = 0 est vrai. 2.2 2.2.1 Les variables Noms des variables Le C fait la différence entres les MAJUSCULES et les minuscules. Donc pour éviter les confusions, on écrit les noms des variables en minuscule

ville et il lui en coûte 1,50 euro. Si l’employé est à l’heure un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est [pic], s’il est en retard un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est [pic]. Pour tout entier naturel n non nul, on appelle Rn l’événement : « l’employé est en retard le jour n » . On pose pn la probabilité de Rn et qn celle de [pic]. On suppose que p1 = 0 . Arbre des probabilités traduisant la situation :

sont des entiers appartenant à l’intervalle [-6, 6] tels uuur uuuuu r que AF et AM ' sont orthogonaux. Exercice n°3 : © 1) Résoudre dans ¢ ² l’équation ( E ) : 3x – 2y = 1. 2) Soit n un entier naturel non nul. (a) Montrer que le couple (14n + 3, 21n + 4) est une solution de ( E ). (b) En déduire que pgcd (14n + 3, 21n + 4) = 1. 3) Soit d le plus grand commun diviseur de 2n + 1 et 21n + 4. (a) Montrer que d = 1 ou d = 13. (b) Montrer que n º 6 (mod 13) Û d = 13. 4) Pour tout entier naturel n supérieur

environnementaux, on admet que l’évolution d’une année sur l’autre est donnée par la suite définie par : où est la population initiale et 1- Déterminer , et la population au bout de n années, exprimées en milliers d’individus. . 2- Pour tout entier naturel , où On nomme la courbe représentative de la fonction La courbe est tracée dans le repère ci-après. a- Tracer dans ce repère la droite . et . la droite d’équation b- Déterminer par le calcul les abscisses des points d’intersection des courbes

une suite géométrique de premier terme U0=2 et de raison q=4. Le terme général est : Un=2×4n. 2/ Relation entre deux termes d’une suite géométrique : Soit Un une suite géométrique de premier terme U0 et de raison q, et soit n et p deux entiers naturels, on a : Un=Up×qn-p. Exemple : Soit Un une suite géométrique de raison q=3 et telle que U6=3. Calculer U9. Solution : Un une suite géométrique alors : U9=U6×q9-6=3×33=3×33=93 III/ Représentation graphique d’une suite géométrique :

pour tout n, pn+1= 0,5 pn + 0,4. 4a) Quelle est la probabilité pour que Monsieur X soit donateur en 2015, 2016, 2017, 2018 ? b) Quelle conjecture peut-on faire au sujet de la suite ( pn ) ? 5) On considère la suite (un) définie par : pour tout entier naturel n, un = pn - 0,8. a) Prouver que (un) est une suite géométrique dont on précisera le 1er terme et la raison. b) Exprimer un , puis pn en fonction de n. c) Quelle est la limite de la suite ( pn ) ? Interpréter ce résultat.

+∞[, le sens de variation de (un) s’en déduit. -technique algébrique : comparer un à un+1 : -soit étudier le signe de la différence un+1 - un -soit comparer le quotient un+1 / un à 1 si pour tout entier n, un>0 -raisonnement par récurrence : ex : u0 = 0 et un+1 = √un + 6, n ≥ 0 montrer que un est majoré par 3. Pn : un≤3 pour n Є ₦ Etape 1 : u0 = 0 et 0 ≤ 3 donc P0 est vraie. Etape 2 : je suppose que : un ≤ 3 un + 6 ≤ 3 + 6 un + 6 ≤ 9

paramètre: Travail 5.20   a, b et c étant des paramètres réels soumis à la condition a+2b+c=0, résoudre dans 3 le système linéaire suivant: Travail 5.21   Pour un entier n ( n 2) et A Mn(K), donner le rang de com(A) (la comatrice de A) en fonction de celui de A. Travail 5.22   est un nombre réel fixé. n est un entier naturel ( n 2). Calculer le déterminant de la matrice définie par Même question pour la matrice définie par