Entier

4 : 1. a. u1 = 5 points 3× 1 3 × u0 3 2 = = 1 1 + 2u0 1 + 2 2 4 et u2 = 3 3× 4 3 × u1 9 = . = 3 1 + 2u1 1 + 2 4 10 b. – Pour tout entier naturel n, notons P n la proposition : 0 < un . – Initialisation : Si n = 0 1 Alors u0 = > 0, donc P 0 est vraie. 2 – Hérédité : Supposons qu’il existe un entier naturel k tel que P k soit vraie (cà d 0 < uk ). Montrons que P k+1 est vraie aussi( cà d 0 < uk+1 ). Par hypothèse de récurrence 0 < uk donc 0 < 3uk et 0 < 1 + 2uk

A rendre le lundi 8 novembre 2010. DM3 Exercice 1 : a) Justifier que : 10  – 1 [11] . b) En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, on a : 10 2n  1 [11] et 10 2n + 1  – 1[11]. c) On considère le nombre M = 91718. Démontrer que M = (9 104) + (1 103) + (7 102) + (1 10 1) + 8 . En utilisant les résultats du b), démontrer que M est divisible

Rappel du collège sur les nombres décimaux Rappel de Collège : Les Nombres Décimaux LA NOTATION SCIENTIFIQUE D'UN NOMBRE Elle est de la forme a x avec 1 a 10, avec n un entier relatif (n € ) Exemple : 12 345 = 1.2345 x 0.0987 = 9.87 x LES NOMBRES DECIMAUX ( PURS) L'écriture décimale d'un nombre se compose d'une partie entière et d'une partie décimale séparées par une virgule (","). Exemple : 1,5 sa partie entière vaut 1 et sa partie décimale vaut 5 3,14 Sa partie entière vaut 3 et sa partie

déplaçaient seuls dans leur voiture. On appelle X n (n entier naturel) le nombre de milliers d’habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l’année 2000 + n. On a donc X 0 = 60. On admet que pour tout entier naturel n, X n+1 = 0, 05X n + 66, 5. On considère la suite (un )n∈N , définie pour tout entier naturel n par U n = X n − 70. 1. Prouver que la suite (un )n∈N est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. 2. Montrer que pour tout entier naturel n, X n = 70 − 10 × 0, 05n . Est-il possible

second devoir sans avoir eu la correction du premier. Bon courage ! 8 2940 DG WB 00 Page 3  Devoir 1 Ce devoir est à réaliser après l’étude de la séquence 2. Durée : 1 heure Le but est de créer un programme qui permet de saisir un nombre entier naturel et qui affiche le ou les poid(s) de chaque chiffre dans ce nombre. À partir de ces informations (les poids de chaque chiffre), le nombre doit pouvoir être reconstitué. Le poids représente la position du chiffre dans le nombre, en partant

Exercice 1 1. Soit [pic]un réel strictement positif. Démontrer que, pour tout entier [pic], [pic] 2. Montrer que pour tout réel [pic] [pic]. Exercice 2 La suite [pic]est définie pour tout entier naturel [pic]par [pic] 1. Montrer que pour tout entier naturel [pic], [pic] 2. Quel est le comportement de la suite [pic]en [pic] ? Exercice 3 La suite [pic]est définie par [pic]. 1. Montrer que pour tout entier naturel [pic], [pic]. 2. Montrer que la suite [pic]est strictement décroissante

des nombres entiers. Quand on additionne deux nombres entiers, on obtient un nombre entier, et de même en soustraction. Quand on multiplie deux nombres entiers, on trouve encore un nombre entier. Mais quand on divise ? En général, la division ne tombe pas juste, et le résultat n’est pas un nombre entier. On sait que diviser, c’est multiplier par l’inverse. Mais l’inverse d’un nombre entier n’est pas un entier, en général. Prenons 3, son inverse est -1 1/3 qui n’est pas un entier. Cela signifie

internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´ equences Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´ es Polynˆ omes ` a coefficients entiers Fractions continues Cette premi`ere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres forment quant `a eux la deuxi`eme partie de ce cours. Contrairement `a la seconde partie, cette premi`ere partie se veut le plus ´el´ementaire

de RSA des noms des ses auteurs : Ron Rivest, Adi Shamir et Léonard Adleman. Le chef du réseau choisit deux nombres premiers p et q puis calcule leur produit n . Il choisit ensuite un entier naturel e tel que PGCD  e ,  p − 1   q − 1  = 1 . Il diffuse la clef publique { n ; e } . La clef privée est un entier naturel d tel que de ≡1 [  p − 1   q −1  ] 1) La clef publique. On choisit p = 53 et q = 79 . • Vérifier que p et q sont premiers. • Calculer n et  p − 1   q − 1  On prend e = 119

dans l’urne B. a. Quelle est la probabilité pour que les deux urnes ne contiennent chacune que des boules de même couleur ? b. Quelle est la probabilité pour que les deux urnes contiennent chacune 5 boules blanches et 5 boules noires ? 2. Soit x un entier tel que 0 x 10. On place maintenant x boules blanches et 10 − x boules noires dans l’urne A et les 10 − x boules blanches et x boules noires restantes dans l’urne B. On procède à l’expérience E : On tire au hasard une boule de A et on la met dans