Entier

désignent des nombres entiers naturels. a. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de x2 par 7 ? b. Démontrer que 7 divise x2 + y 2 si, et seulement si, 7 divise x et 7 divise y. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Existe-t-il des points qui appartiennent à l’intersection de l’ensemble (S) et du plan d’équation z = 98 et dont les coordonnées sont des entiers naturels ? Si oui

l’ensemble {1; 2; 3; 8; -25} II Les ensembles de nombres : a) Les entiers Def : N désigne l’ensemble des entiers naturels. N ={0;1 ;2 ;3 ;4;…} Z désigne l’ensemble des entiers relatifs. Z ={…;-3 ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;…} Exemples : 3[pic]N ; Et 3,5[pic]N On a N[pic]Z b) Les décimaux Def : D désigne l’ensemble des nombres qui sont le quotient d’un entier par 10k où k est un entier naturel. Rq : En d’autres termes un nombre décimal peut s’écrire sous la

) sont des compléments de cours facultatifs. Le chapitre 0 rappelle les notions prérequises et les dénitions les plus importantes. Il n'est pas traité en cours Table des matières 0 Rappels 0.1 L'ensemble 0.1.1 0.1.2 0.2 0.3 5 N des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 8 10 12 14 16 18 19 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriété fondamentale de

probl`me de l’arrˆt». e e e e 1 Deux mod`les de calculabilit´ e e Ces mod`les visent ` capturer le cœur de la notion de calculabilit´. Ils ne se veulent pas r´alistes en ce e a e e sens que – ils ne concernent que les fonctions des entiers naturels dans les entiers naturels – nous verrons toutefois que l’on peut d´j` y d´finir et manipuler des structures de donn´es ; ea e e – ils ne s’int´ressent pas encore ` la notion d’efficacit´ ni d’effectivit´ en temps ou en espace mais e a e e seulement ` la notion

graphiques obtenues sur un tableur. On peut ainsi introduire l’idée de limite infinie (on peut trouver un seuil au-delà duquel les termes de la suite sont supérieurs à 10k, k entier naturel étant donné) ou finie (on peut trouver un seuil au-delà duquel l’écart entre les termes de la suite et la limite est inférieur à 10− k, k entier naturel étant donné). ch1_act1.ods, feuille « ProfesseurA ». a) Quand n devient grand, la suite (An) semble prendre des valeurs de plus en plus grandes. b) On a n0 = 179 et

« le gardien arrête le n-ième tir ».On a donc P(A1) = 0,7 . 1)a) Donner pour n [pic] 1, les valeurs de P(An+1/An) et P(An+1/[pic]) b) Exprimer P(An+1[pic]An) et P(An+1[pic][pic]) en fonction de P(An) . c) En déduire que, pour tout entier strictement positif n, on a : P(An+1) = 0,2P(An) + 0,6 . 2) On pose à présent, pour n [pic] 1 , pn = P(An) et un = pn – 0,75 . a) Démontrer que (un) est une suite géométrique de raison 0,2 . b) En déduire une expression

\lim_{x »a} f(x) = l Suite croissante non majorée : La suite Un n'est pas majorée signifie que : quelque soit le réel M, il existe un entier N tel que UN > M Puisque la suite UN est croissante, alors il existe un entier naturel n ž N tel que Un ž UN Par conséquent, quelque soit l'entier naturel n ž N : Un žM Donc, pour tout réel M > il existe un entier N tel que : quelque soit nžN, Un > M Ce qui prouve bien que la limite quand n tend vers + ¸ de Un est + ¸ . Formule d'intégration par

nombre particulier I.1. Le besoin Un seul nombre entier est compris entre un carré et un cube de nombres entiers, lequel ? Avec X l’inconnu, on peut écrire : A2 < X < B3 avec B3 = A2 + 2 = X + 1 ; A, X, B entiers. I.2. L’algorithme L’algorithme effectue la vérification sur 10000 valeurs de A, cette itération peut être menée plus loin. Variable B3 en entier Variable B en décimal Début Pour A ← 1 à 10000 B3 ← A ^ 2 + 2 B ← B3 ^ (1 / 3) Si Entier(B) = B Alors Ecrire "Le nombre est " & B3 – 1

1 . Soient a et b deux entiers > 0. (a) Montrer que si a et b sont premiers entre eux, il existe un unique couple d’entiers > 0 (u, v) tel que au − bv = 1 v´rifiant u < b et v < a. e (b) Montrer que a et b sont non premiers entre eux si et seulement s’il existe deux entiers > 0 u et v tels que au = bv, avec u < b et v < a. e e 2 . : Le th´or`me chinois : (a) D´terminer tous les entiers relatifs qui deviennent divisibles par 5 si on leur ˆte 1, et divisible par e o 4 si on leur ajoute 1. (b) Soit a

sur . Dire que la suite est majorée signifie qu’il existe un réel Dire que la suite est minorée signifie qu’il existe un réel Dire que est bornée signifie qu’il existe deux réels et tel que pour tout entier naturel , tel que pour tout entier naturel , tels que pour tout entier naturel n, Méthodes pour démontrer qu’une suite est majorée, minorée ou bornée : . Remarque importante :   Pour démontrer qu’une suite est majorée par (ou minorée par , on peut :  Étudier algébriquement