Entier

Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Montrer que (∃k ∈ N/ b = ka et ∃k ∈ N/ a = kb) ⇒ a = b. Exercice no 9. Ecrire avec des quantificateurs les propositions suivantes puis dans chaque cas dire si la proposition est vraie ou fausse. 1) Tout entier naturel est pair ou impair. 2) Tout entier naturel est pair ou tout entier naturel est impair. 3) Pour chaque entier, on peut trouver un entier strictement plus grand. 4) Il y a un entier plus grand que tous les entiers. Exercice no 10.

Chapitre 1 Chapitre 1. Suites Activités et applications Application 2 Variables : n (entier), u (réel) Début n prend la valeur 0 u prend la valeur 1 Tant que u < 1010 : n prend la valeur n + 1 u prend la valeur 5n Fin Tant que Afficher n Fin 1. Suites ayant une limite infinie (STI2D/STL SPCL) Activité. Une suite dont les termes peuvent être assez grands 1. u102 = 9 900, u104 = 99 990 000, u106 = 9,999 99 ¥ 1011, u1010 = 9,999 999 999 ¥ 1019. 2. Soit f’ la fonction dérivée de la fonction f. f’(x)

raison a peut s'écrire sous la forme un = an + b ? La réponse est dans ce qui suit. M2 : comment calculer un terme quelconque d'une suite arithmétique ? ® On utilise l'une des relations suivantes : un = u0 + nr ou un = up + (n - p)r (pour tous entiers p et n) Exemples : Calculer u26 dans les deux cas suivants : 1) u0 = 6 et r = 5 : 2) u10 = 3 et r = -2 : u26 = u0 + 26r = 6 + 26´5 = 136 u26 = u10 + 16r = 3 + 16´(-2) = -29 Exercice : démontrer que toute suite arithmétique (un) peut s'écrire

000 Ko octets ? 500 000 000 * 1000 = 500 000 000 000 octets Combien de MP3 de 7 Mo peut-on mettre sur un Ipod de 16 Go (système international) ? 16 Go en Mo ? 16 x 1000 = 16000 Mo 16000 Mo / 7 Mo = 2285 mp3 Convertir binaire à décimal (entier non signé) Quelle est la valeur de 0101 en décimal ? ( 0*23 ) + ( 1 *22 ) + ( 0*21 ) + ( 1*20 ) 0 + 4 + 0 + 1 =5 Plus rapide… 8 4 2 1 0 1 0 1 On inscrit les résultats des puissances au dessus du nombre binaire. Ensuite

propriété de Thalès pour justifier que x = ab Construction d’un segment de longueur 1/a avec a la longueur d’un segment constructible. La justification utilise toujours le théorème de Thalès Construction d’un segment de longueur n avec n un entier naturel Par exemple ici on construit un segment de longueur 3 Pour cela on utilise la propriété de Pythagore dans les triangles rectangles On construit un premier triangle rectangle ayant les côtés de l’angle droit de mesure 1, alors l‘hypoténuse

cinquième de ces axiomes a pour énoncé : « par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à cette droite ». Un autre exemple d’axiomes est fourni par les (cinq) axiomes de Peano. Ceux-ci définissent l’ensemble des entiers naturels. Le cinquième axiome affirme que : « si P est une partie de N contenant 0 et telle que le successeur de chaque élément de c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr P est dans P (le successeur

(v n ) définie pour tout entier naturel n par   v0 = 1 9  v n+1 = 6 − vn Partie A 1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse. Algorithme No 1 Variables : v est un réel i et n sont des entiers naturels Algorithme No 2 Variables : v est un réel i et n sont des entiers naturels Algorithme No

utiisée. Pour tout réel x, E(x) désignera la partie entière de x, c’est-à-dire le plus grand entier k inférieur ou égal à x, donc tel que : k ≤ x < k + 1. Par abus de langage, on confondra « application polynomiale » et « polynôme ». 0, n désignera l’ensemble des entiers k tels que : 0 ≤ k ≤ n. PREMIÈRE PARTIE Rn [X] désigne l’espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, n étant un entier naturel non nul. 1 - Si x0 , x1 , x2 , . . . , xn sont (n + 1) réels distincts, montrer

déduire les coordonnées des points M et N D EXERCICE 2 On considère la suite (I n ) définie pour n entier naturel non nul par : 1 5 points In = 1. 2 0 x n ex dx. 2 1 2 Démontrer que la fonction G définie sur R par G(x) = ex est une primitive sur R de la fonction g . 2 (b) En déduire la valeur de I 1 . (c) À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, on a : 1 n +1 I n+2 = e − In . 2 2 (d) Calculer I 3 et I 5 . (a)

f (x) a même signe que g (x). 4. En déduire le tableau de variations de la fonction f . 5. Tracer la courbe C dans le repère (O ; ı ;  ). On prendra comme unités : 2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe des ordonnées. Partie C Soit n un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine D du plan compris entre la courbe C , la droite ∆ et les droites d’équations respectives x = 1 et x = n. 1. Justifier que cette aire, exprimée en cm2 , est donnée par : n In = 2 n 1 ln x dx