Entier

l’enseignement de spécialité On considère la suite de nombres complexes (zn ) définie par z0 = entier naturel n : zn+1 = (1 + i)zn . 3−i et pour tout Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendantes. Partie A Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |. 1. Calculer u0 . 2. Démontrer que (un ) est la suite géométrique de raison terme 2. 2 et de premier 3. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n. 4. Déterminer la limite de la suite (un ). 5. Étant

Exercices ` faire : exercices 7 et 8 de la fiche ”Probabilit´s de base”. a e 3 Combinaisons D´finition 3 : Notation factorielle e Soit n un entier naturel non nul. On appelle factorielle de n, et on note n!, le nombre d´fini par : e n! = 1 × 2 × 3 × . . . × (n − 1) × n On pose par convention 0! = 1. D´finition 4 : Combinaisons e Soit n et k deux entiers naturels tels que k n. Le nombre d’ensembles constitu´s de k ´l´ments choisis parmi n ´l´ments est appel´ nombre de combinaie ee ee e sons de k

. +un = somme des n premiers termes =n 1 n u u 2 http://pernoux.perso.orange.fr c) Exemple concernant la suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 : 2+5+8+11+14+17=6× 217 =57 2 d) Exemple « classique » (avec la suite des entiers naturels qui est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1) : 1+2+3+4+5+......+(n-1)+n=n×1+n = n(n1) 22 1+2+3+4+5+......+67+68= 68×69 =2346 e) Remarque : une formule analogue est utilisable pour trouver la somme de termes consécutifs

[pic]est irrationnel. Démontrons les propriétés préalables nécessaires à la suite de la démonstration : Si a, entier relatif est pair alors c'est que c'est un nombre obtenu par la multiplication de 2 par un autre nombre entier. Donc si a est pair alors il existe un entier relatif b tel que [pic] Si [pic], alors [pic] avec [pic]or [pic]donc [pic]; Il existe donc bien un entier M tel [pic]. On arrive bien à la conclusion : Donc si a est pair alors a2 est pair Si a est un nombre impair

enx . – (ex )0 = 1 = e0×x . Donc P (0) est vraie. – Soit n, un entier, on démontre que la propriété se transmet de n à n + 1. On suppose que (ex )n = enx alors (ex )n+1 = (ex )n × ex = enx × ex = enx+x = e(n+1)x . – La propriété est vraie pour n = 0 et se transmet, pour tout n, de n à n + 1, donc la propriété est vraie pour tout n : pour tout entier naturel n, (ex )n = enx . Partie B On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par : 1 un = 1 1. a. u0 + u1 = 0 Par

ACTIVITÉS (page 436) de F peut être approchée par la loi de Y, c’est-à-dire la loi 3   normale   0, 25 ; .  1 600  Activité 1 1 a) Ensemble des valeurs prises par F : F (Ω) = { } k , k entier entre 0 et 100 . 100 1 Étant donné que la probabilité d’apparition du 1 est , on 4 25 est la valeur de F la plus probable. peut conjecturer que 100 b) X indique le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli d’ordre 100 et de paramètre 0,25 ; donc, la loi de X est

d’un nombre entier, on groupe ses chiffres par 3 à partir de la fin. 726 050 qui se lit « sept cent vingt six mille cinquante ». 27 200 003 qui se lit « vingt sept millions deux cent mille trois » *On peut supprimer ou écrire des zéros à droite de la partie décimale et à gauche de la partie entière sans changer le nombre. 050,75=50,75 97,00=97 00,830=0,83 2,780=2,78 *97 est un nombre décimal dont la partie est nulle. Tout nombre entier est un nombre

Soit ak un terme quelconque de la suite, et r la raison de la suite ak = ak -1 + r Propriétés. a) lien entre les termes et le premier terme * si a1 est le premier terme, alors pour tout n entier naturel non nul : an = a1 + (n − 1)r * si a0 est le premier terme, alors pour tout n entier naturel : an= a0+nr b) somme S des termes d’une progression arithmétique: S = (nbre de termes) X (1er) + X raison x raison S = n x a1 + x r ou encore S

50000 et pour tout entier naturel n par la relation un+1 = 0, 95un + 3000. 2. On considère la suite v définie pour tout entier naturel n par v n = 60000 − un . a. Montrer que la suite v est une suite géométrique de raison 0,95. Déterminer son premier terme. b. Exprimer v n en fonction de n. c. En déduire que pour tout entier naturel n, un = 10000(6 − 0, 95n ). d. Déterminer la limite de la suite u. e. Interpréter le résultat précédent. 3. a. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation

affiche tous. 2. D’après les tables de valeurs de la suite (qui correspond en fait à n = 9), il semblerait que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 3. 3. a. Montrons par récurrence la propriété P n : 0 < v n < 3 pour tout entier naturel n. Initialisation : n = 0, on a bien 0 < v 0 < 3 vraie, puisque v 0 = 1 ; ainsi P 0 est vraie. Hérédité : Supposons P n vraie, montrons alors que P n+1 est vraie. On suppose donc que 0 < v n < 3. Donc 6 = 6 − 0 > 6 − v n > 6 − 3 = 3, puis