Entier

rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels est construit comme le corps des fractions de Z. Le corps Q étant totalement ordonné, on

: U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 0, 6 ×U + 120 à U Fin Pour Afficher U Fin algorithme 1 Variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N Pour i de 1 à N faire Affecter 115 à U Affecter 0, 4 ×U + 120 à U Fin Pour Afficher U Fin algorithme 2 Variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U

3 A est donc un nombre entier et A ∈  B = 6−1 = D= 1  0,16666...... donc B ∈  6 75 × 325 39 E=2 2 − = 5 3 × 5 13 3 × 13 2 =2 2− 2 −1 2 ( C= 49 7 14 = = = 1,4 donc C ∈ 35 5 10 = 25 donc D ∈  ( ) 2 +1 )( 2 −1 ) = 2 2 − 2 2 − 2 = −2 donc E ∈  2 +1 23 × 10−1 2 2 23 × 10−1 × 35 ÷ 5 = F= = 2 × 3 × 10−1 = 6 × 0,1 = 0,6 donc F ∈ 4 4 2 3 3 3 ×2 Exercice n°2 Prouver que G est un nombre entier : G= 1,5 pts 1

. 3 3 Avec xA = 2, yA = 3, xB = - 4 et yB = 1, on obtient : a = - 2, b = 6 et c = - 14. Thème 2 : La structure alternative ou test 3 4 6 5 10 6 15 7 21 8 28 9 36 10 45 3. b) u100 = 4 950 et u2012 = 2 023 066. 6 1. a) Tant que le nombre entier aléatoire obtenu est différent de 6, on ajoute 1 au compteur. Non, on ne peut pas prévoir le nombre de passage dans cette boucle. b) La variable a est initialisée à 0 au début puisqu’on n’a pas encore simulé le lancer du dé. 1. a) 0 ou 1. 1 b) 0

[pic] et on définit la suite (un) par : u0 =[pic]= [pic] pour tout entier naturel n non nul, un =[pic] = [pic] 1. a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], [pic] ( f(x) ( 1. b. En déduire que [pic] ( u0 ( 1 2. Calculer u1. 3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 ( un. b. Étudier les variations de la suite (un). c. En déduire que la suite (un) est convergente. 4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un ( [pic]. b. En déduire la limite de la suite (un)

Les différents types de nombres Les nombres entiers naturels sont les nombres : 0, 1, 2, 3... Les nombres entiers relatifs sont les nombres entiers positifs et les nombres entiers négatifs. Un nombre décimal est le quotient d'un nombre entier par une puissance de 10. La partie décimale de son écriture décimale s'écrit avec un nombre fini de chiffres non nuls. Un nombre rationnel est le quotient d'un nombre entier relatif par un nombre entier relatif non nul. Un nombre irrationnel est un nombre

MT18 Logique et théorie des ensembles Rappels : ℕ : ensemble des entiers naturels = { 0 , 1 , 2 , … } A part 0, un nombre n’a pas d’opposé dans ℕ * = − {0} : ensemble des entiers relatifs = { …, – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , … } = { n, -n ; n ∈ ℕ } A part -1, 1, un entier relatif n’a pas d’inverse dans = − {0} p p p * : ensemble des nombres rationnels = { ;( p, q ) ∈ × } avec 1 = 2 ⇔ p1.q2 = p2 .q1 } q q1 q2 * * = − {0} Mais π , * + 2,e∉ * : ensemble des nombres réels

récursivité ; – en utilisant une formule. Exemple de solution : /* int somme_nombres_iteratif(int n) * calcule la somme des n premiers nombres * Principe : accumulation dans une variable int des n premiers nombres * arguments : n entier positif * retour : somme des n premiers entiers si n>0 0 si n est négatif ou nul * JCG écrit le 22/03/2001 modifié le 1/09/2006 */ int somme_nombres_iteratif(int n) { int i, s=0; for (i=1;i0 0 si n est nul indéterminé si n est négatif * JCG écrit le 22/03/2001 modifié le

: 144 949,2 × 1,2 = 173 939,04 MW est une suite géométrique car on multiplie par 1,2 pour passer d'un terme au suivant. 2° a La suite = 1,2 Autrement dit : on a pour tout entier naturel : b = × = 120 791 × 1,2 3° a 250 000 1,2 ≥ 120 791 ln 1,2 ≥ ln car ln est une fonction croissante ln 1,2 ≥ ln ≥ b Le plus petit entier vérifiant 1,2 , ≈ 3,99 250 000 120 791 car ln 1,2 > 0 ≥ est 4. Or, d'après la question a cette inéquation admet pour solution ≥ 4. Ainsi à partir de l'année 2012

récurrence - Généralités sur les suites. Exercice n°1. n 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 4 + 5 est un multiple de 3. initialisation pour n=0 4 0+ 5=6=2×3 OK hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc il existe un entier k tel que 4 n +5=3 k conclusion 4 n +5=3 k ⇔ 4×( 4 n+5)=4×3 k ⇔ 4 n+1 + 20=3×4 k ⇔ 4 n+1 +5=3×4 k −15 ⇔ 4 n+1 +5=3×( 4k−5) or 4 k −5 est un entier donc si 4 n + 5 est un multiple de 3 alors 4 n+1 + 5 est aussi un multiple de 3 la propriété