Épreuve de Bernoulli

correspondants - session 2010 NOR : MENH0911144N RLR : 824-1d ; 531-7 note du 9-6-2009 MEN - DGRH D1 Concours externe du CAPET et CAFEP/CAPET Section : arts appliqués Épreuves d’admissibilité - Épreuve écrite de culture artistique : arts techniques et civilisations (CAPET externe) - Épreuve de culture artistique (C.A.P.L.P. externe) - Épreuve écrite d’admissibilité (C.A.P.L.P. interne) 1 - Paraître : les indices du luxe dans la société du Grand Siècle 2 - Exposer/s’exposer : muséographie et scénographie

CHAPITRE 3 : LOIS USUELLES I- Loi de Bernoulli : Dans une urne contenant des boules blanches en proportion « p » et des boules rouges en proportion « q = 1 – p ». On tire une boule. Soit la variable aléatoire X = nombre de boules blanches obtenues. X prend deux valeurs soit 0 soit 1. X = 1 : si la boule tirée est blanche. 2 : si la boule tirée est rouge. X(Ω) = {0, 1}. P(X = 1) = p. P(X = 0) = q = 1 – p. On dit que X soit une loi de Bernoulli de paramètre p. On note : X → B (p). Ou bien

synonyme encadrent une partie optionnelle W de l’expression. ➤ Les mots du texte qui renvoient à une autre entrée sont mis en italiques. ➤ Enfin, quelques rares expressions n’ont aucun équivalent dans l’usage anglo-saxon (par X exemple « épreuves répétées »), elles ne sont donc pas traduites. François Dress dress@math.u-bordeaux.fr Y Z A B C D E absolument continue (variable aléatoire) Voir variable aléatoire (typologie). (absolutely continuous random variable) (acceptance

des probabilités. Louis XIV épouse l'infante d'Espagne (1660), mariage arrangé par Mazarin qui meurt en 1661. Colbert lui succède et fonde l'Académie des Sciences en 1666. Newton et Leibniz se disputent la paternité du calcul différentiel. Les Bernoulli fondent la physique mathématique avec le calcul des variations De 1700 à 1749  -  Le siècle des Lumières. Développement de l'analyse fonctionnelle et de l'algèbre linéaire Mort de Louis XIV en 1715. La même année, Taylor publie son traité sur le

mathématiques a lieu à l'âge de treize ans à la lecture des Éléments de mathématiques de Dominique-François Rivard. Il aborde alors une véritable passion pour l'algèbreet les coniques. Sachant lire le latin, il s'intéresse ensuite aux travaux d'Euler et de Bernoulli. Pendant la Révolution, le père d'André-Marie retourne à Lyon pour y exercer les fonctions de juge de paix. Il prend fermement position contre les excès révolutionnaires qui mènent au soulèvement et au siège de Lyon. Ayant fait arrêter le chef des

gris ∩ élevage 1 0, 09 9 3 On a donc : p gris (élevage 1) = = = = . p(gris) 0, 21 21 7 2. On suppose qu’il y a assez d’alevins pour que la probabilité d’avoir un alevin en vie au bout de trois mois est toujours égale à 0, 92. On a donc une épreuve de Bernoulli avec n = 5, p = 0, 92. La probabilité d’avoir 3 alevins en vie sur 5 au bout de trois mois est donc égale à: 5 0, 923 × (1 − 0, 92)2 = 10 × 0, 923 × 0, 082 ≈ 0, 049 ≈ 0, 05 à 10−2 près. 3 3. On a le tableau de loi de probabilité suivant : couleur

d’´v´nements et de sous-tribus. . . . . . . . . . e e e 2.3.1 Ind´pendance d’´v´nements . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 2.3.2 Ind´pendance de sous-tribus . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4 Application : Apparition d’un pile dans un sch´ma de Bernoulli e 2.5 R´sum´ du deuxi`me chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Les 3.1 3.2 3.3 3.4 variables al´atoires e Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . .

étudiée. On peut remarquer que ⌠ λ e -λx dx =  -e -λx  = -e -λb + 1   ⌡ 0 0 b b a b Loi binomiale - Schéma de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une épreuve pouvant donner deux résultats:  le résultat A avec la probabilité p et le résultat A avec la probabilité 1 - p. Un schéma de Bernoulli, est la répétition n fois, de manière indépendante, d'une épreuve de Bernoulli. La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de résultats A obtenus, est appelée loi binomiale de

− a + 2) 12 Loi de Bernoulli Schéma théorique Considérons une expérience aléatoire ayant deux issues, à savoir : succès avec une probabilité p, échec avec une probabilité q = 1 − p. Soit X la variable aléatoire valant 1 en cas de succès, 0 en cas d’échec. On a alors X(Ω) = {0; 1} et P(X = 1) = p, P(X = 0) = q. Lois usuelles discrètes finies Définition X.2.1. — Soit p ∈]0; 1[. Une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) suit la loi de Bernoulli de paramètre p si X(Ω)

manière de le faire. 2- n est le nombre d’élèves. Alors il y a C2 n façon d’élire un comité. Donc, C2 n = 351⇔ 1/2n2 − 1/2n− 351 = 0. On résoudre l’équation on trouve que n = 27. Exercice 5. 1) On applique ici le principe de la multiplication. Chaque épreuve (lancer) donne lieu à 6 éveb- tualités donc au total il y a 63 triplets. 2- Constituer un nombre de trois chiffres distincts de 1 à 6 c’est un arrangement de 3 parmi 6. Il y a donc A3 6 nombres. Exercice 6. 1- Chaque manière de ranger les 10 livres