Espace vectoriel normé

TP N°1 : Programmation de méthodes directes pour la résolution des systèmes linéaires AX=B par MATLAB ÉLABORÉ PAR : Essaied Abdel Hamid Indp1_C ANNÉE UNIVERSITAIRE: 2009-2010 Les méthodes de résolution directe TP1 Introduction: Dans ce TP on va essayer d’écrire l’algorithme de résolution d’un système linéaire sous MATLAB en utilisant deux méthodes directes : la méthode de gauss et la méthode de Cholesky. Dans la première partie on va procéder à la programmation de l’algorithme

2 ´ ` ´ ´ RESOLUTION DE SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES 16 Fig. 1 – Sch´ma de d´cision du th´or`me de Rouch´ e e e e e – ou bien le second membre est dans le sous-espace sous-tendu par les colonnes de la matrice du syst`me et il y a une infinit´ de solutions ; e e – ou bien le second membre n’est pas dans le sous-espace sous-tendu par les colonnes de la matrice du syst`me et il n’y a pas de solution exacte du syst`me. On pourra lui chercher e e des solutions approch´es en se ramenant (avec

que les mathématiques sont fortes. Euclide a d’ailleurs été le premier vrai « animateur » des mathématiques (III av JC)  explicitant sa théorie géométrique avec le minimum d’axiomes possibles. Évidemment si on prenait comme axiome : « Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire nommé ‘|’ alors (x|y)² < (x|x).(y|y) et cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont proportionnels. », ça serait moins flagrant comme preuve… Au passage, l’assertion précédente s’appelle l’inégalité

, e3 }. f est l’endomorphisme de matrice M dans cette base :  1 −1 1    M =  −2 0 −1    1   −2 −2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Déterminer son polynôme caractéristique. Calculer ses valeurs propres. Donner une base des sous-espaces propres. Décider si f est diagonalisable. Donner éventuellement l’expression diagonalisée. Vérifier en utilisant les matrices de changement de base. EXERCICE 2. Faire, pour la matrice A suivante, une étude semblable à celle de l’exercice 1

Généralités sur le système linéaire I. Définition d’un hyperplan affine (Équation linéaire à inconnues) Définition : Un hyperplan affine est représenté par une équation de type : – où les coefficients sont non tous nuls. C’est un sous-espace affine de dimension dans . EXEMPLE : La notion d'hyperplan est confondue avec celle  d’une droite dans le plan  d’un plan dans l’espace . Deux équations linéaires sont équivalentes s’ils ont exactement les mêmes solutions. Si on multiplie

strictement inférieur à . est nul : est une valeur propre, l'ensemble des vecteurs tels que , est un sous-espace vectoriel. Par définition, il contient le vecteur nul, et tous les vecteurs propres de associés à . On l'appelle le " sous-espace propre'' associé à . Remarquons qu'un même vecteur propre ne peut être associé qu'à une seule valeur propre. Par conséquent, deux sous-espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes ont une intersection réduite au vecteur nul. Si une matrice

Soient (a, b) ∈ K × K∗ et l’ensemble La,b de suites récurrentes linéaires d’ordre 2 : La,b = {(un )n∈N ∈ KN | ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun }. L’ensemble La,b est un K-espace vectoriel de dimension 2. Démonstration. Il y a deux points à vérifier. • Pour montrer que La,b est un K-espace vectoriel nous montrons que c’est un sous-espace vectoriel de KN . La suite nulle est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 donc La,b est non vide. Soit u et v deux suites de La,b et (λ, µ) ∈ K2 . Posons w = λu + µv

SEL. 5) Modéliser un problème contextuel sous la forme d’un SEL. 6) Résoudre un problème contextuel à l’aide d’une méthode matricielle (5 étapes vues en classe). Chapitre 5 1) Connaître et de définir divers termes appartenant au lexique vectoriel (scalaire, vecteur, vecteur géométrique, module, direction, vecteur nul, vecteur unitaire, vecteur algébrique, composante, base, base orthogonale, base orthonormée). 2) Donner une représentation graphique d’un vecteur. Vecteurs géométriques

caractéristiques : on peut utiliser par exemple les angles d’Euler permettant de repérer R par rapport à Ro. w z z1 Ro v A1 y1 x1 y n u x → → → On définit le vecteur nodal n , donné par l’intersection des sous espaces vectoriels { x , y } et → → {u , v } Le passage d’une base à l’autre peut se faire par composition de 3 rotation planes : → → w → → → z → n y v → z ϑ Ψ → → h j n Ψ : angle de précession

vecteur. E A Origine du vecteur EMBED Equation.DSMT4 B extrmit du vecteur EMBED Equation.DSMT4 . A C Rq EMBED Equation.DSMT4 vecteur nul distance AB EMBED Equation.DSMT4 norme du vecteur EMBED Equation.DSMT4 Egalit vectorielle On dit que deux vecteurs sont gaux lorsquils ont mme direction, mme sens et mme longueur. On note EMBED Equation.DSMT4