Estimateur

est non biais´ . e 2. Calculez la variance de l’estimateur pour une taille arbitraire de l’´ chantillon donn´ par n. e e ` 3. Qu’est-ce qui arrive a la variance de l’estimateur lorsque n devient tr` s e grand ? 4. Est-ce que l’estimateur Y est un estimateur convergent (convergence en probabilit´ ) de µY ? Ne donnez pas de preuve formelle mais expliquez e intuitivement votre r´ ponse. e 5. Comparez la variance de l’estimateur Y avec celle de l’estimateur MCO. Expliquez ce que vous trouvez. 4 Convergence

12.4 Exposé du problème et exemples Définition d’une statistique Statistique exhaustive Information de Fisher 13 • Estimation ponctuelle 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Définition d’un estimateur Principales qualités d’un estimateur Estimateur sans biais de variance minimale Précision intrinsèque d’un estimateur et inégalité de Cramer-Rao Méthode du maximum de vraisemblance (MV) Extension au cas de plusieurs paramètres 14 • Estimation par intervalle de confiance 14.1 Définition d’un intervalle

2.1 – Mean-Excess plots pour la queue des pertes Estimation du modèle POT Deux méthodes d’estimation sont ici encore envisageables : l’Estimation par Maximum de Vraisemblance (EMV) et celle par les Moments Pondérés (EMP). Commençons par les estimateurs du Maximum de Vraisemblance. Supposons que notre échantillon des excès X = (X1 , . . . , XNu ) est iid avec comme fonction de distribution la GPD G. La fonction de densité g de G est alors pour ξ = 0 g(x) = x 1 1+ξ σ σ 1 − ξ −1

qyyx mais leur puissance est nulle dans la direction autre que celle spécifiée (Cohen, 1988 ; Kline, 2004). Par ailleurs, la fiabilité d’un estimateur provenant d’un échantillon désigne la précision avec laquelle il parvient à identifier approximativement la valeur du paramètre correspondant relié à la population de référence. En d’autres termes, un estimateur fiable est celui qui minimise l’erreur due à l’échantillonnage. La taille de cette erreur varie de façon inverse au nombre d’unités statistiques

l’estimation économétrique en tant que telle. Dans un premier temps, nous allons observer les résultats de la régression par la méthode des MCO et dans un deuxième temps réaliser les tests qui permettront de conclure si, les MCO sont les meilleurs estimateurs possibles ou si l’utilisation des MCG est nécessaire. III- Régression linéaire par la méthode des MCO Dans un premier temps, voici ci-dessous les résultats de l’estimation de notre modèle présenté en introduction : Grâce à l’analyse

prendre en compte la partie inexpliqu´e par le mod`le. e e e Dans la demarche de la mod´lisation, la randomization est donc introduite ` titre d’hypoth`se. e a e 40 3.3.2 Intervalle de confiance Pour ne pas donner s`chement la valeur d’un estimateur θ d’un param`tre θ, on pr´f`re produire un e e ee intervalle [L− , L+ ] dans lequel pourrait se trouver le param`tre inconnu avec une certaine probabilit´ que e e l’on note 1 − α (α est une probabilit´ petite). On relativise ainsi l’information

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Principe de l'ajustement des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Calculs pour les données "Rendements agricoles" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Quelques remarques . . .

appelle estimateur tout algorithme de calcul conduisant à l'obtention d'une estimation. Le problème du statisticien est de déterminer, parmi tous les estimateurs possibles, celui, ou ceux qui présentent les meilleures capacités d'estimation able. On parle ainsi d'estimateur sans biais pour désigner un estimateur dont l'espérance d'erreur par rapport à la valeur exacte à estimer (calculée sur tous les échantillons possibles) est nulle. Ce n'est pas la seule qualité recherchée pour un estimateur ...

Estimations 1. Estimateurs Bien faire la différence entre qui est un n-uplet de variables aléaqui est un n-uplet de réels vérifiant toires et Il ne faut pas confondre , l’estimateur de θ, qui est une variable aléatoire avec une de ses réalisations qui est un réel appelé estimation de θ. L’estimation ne dépend que de l’échantillon observé. La variable aléatoire Tn dépend à priori de θ puisque les Xi dépendent de θ. Bien connaître les estimateurs usuels : - estimateur d’une proportion : - estimateur de la moyenne

vers V(X ). Toute la problématique des statistiques consiste à construire des estimateurs qui permettent d’approcher les paramètres de la loi de X quand la taille n de l’échantillon est grande. Frédéric Naud, département de Mathématiques Probabilités et Statistiques L1 Introduction Dénombrements (1) Probabilités (2) Variables aléatoires (3) Lois usuelles (4) TCL (5) Statistiques (6) Estimateurs . Soit X un caractère à étudier. Soient X1 , X2 , . . . , Xn , des variables