Flocon de Koch

recherches ), comme les mathématiciens se sont détournés du flocon de Koch qu’ils considéraient comme un objet monstrueux : les sphères ou les triangles sont considérés comme des objets acceptables par les mathématiciens de l’époque, mais pas les nuages ni les arbres (du moins en tant qu’objets géométriques). ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Parenthèse d'explication Le flocon de Koch : Le flocon de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été

aux images calculées par des ordinateurs devenus assez puissants à l’époque. On connaissait ainsi les courbes de Peano et de Von Koch. De nos jours, l’ensemble de Julia et celui de Mandelbrot sont les plus célèbres. Une des courbes les plus célèbres et les plus anciennement étudiées est donc la courbe de Koch. A partir de cette courbe, on peut construire le flocon de Koch. Il est élaboré à partir d’un triangle équilatéral de coté a. On enlève le tiers central de chaque segment du triangle, et on

de l'exposé . Introduction Problématique : Dans quelle mesure la notion de fractale a-t-elle une implication réelle dans le monde qui nous entoure ? I/ Les propriétés des fractales II/ Les fractales dans la nature, un exemple : le flocon de neige III/ Les fractales dans le corps humain . Conclusion   Introduction . Définition de fractale : (latin fractus , brisé ) Les objets fractals se différencient des figures simples par le fait que leur courbe et/ou leur surface

 malgré sont  support mathématique, pas une “science” exacte, plusieurs  mathématiciens s’accordent même pour dire que les fractales sont les  représentations de la ​ théorie du chaos​ .  Certaines fractales simples et facilement assimilables (comme le flocon  de Koch) on un aspect rudimentaire face à la complexité de fractales plus  complexes (comme l’ensemble de Mandelbrot). La notion de fractale  approche alors une dimension philosophique et mystérieuse lorsque leur  présence est poussée jusque dans les jupons de Dame Nature

figure. Puis les descriptions et découvertes de telles courbes vont s’accélérer avec par exemple la célèbre courbe du flocon de Von KOCH en 1904 que nous étudierons ultérieurement. Elle est sûrement la courbe la plus célèbre de toutes les courbes fractales et doit sa notoriété à ses propriétés étonnantes : son périmètre infini et son aire finie par exemple. On construit le flocon en prenant pour base un triangle équilatéral auquel on ajoute de plus petits triangles sur chaque côté.

Circonférence d'un cercle * 2 Perception du périmètre * 3 Isopérimétrie * 4 Courbe rectifiable o 4.1 Un exemple : l'ellipse o 4.2 Courbe rectifiable * 5 Courbes fractales o 5.1 Un exemple : Le flocon de von Koch o 5.2 Fractales et dimension de Hausdorff * 6 Fragments d'histoire o 6.1 Aire et périmètre o 6.2 Circonférence du cercle o 6.3 Longueur d'une courbe * 7 Annexes o 7.1 Bibliographie

courbes fractales sont les plus simples à représenter et c'est par là que nous allons commencer. Pour obtenir une courbe fractale, il faut faire une construction géométrique. Nous allons prendre pour exemple unes des plus connues, la courbe de Von Koch. On commence avec deux formes géométriques : un initiateur et un générateur, ce dernier est une ligne bridée faite de n segments (ici 4) égaux de longueur r. En partant de l'initiateur, chaque étape de la construction consiste à remplacer

de l’organe, ce qui nous permet donc de respirer. Néanmoins cela reste une modélisation de fractale assez simple étant donné que l’on ne part que d’une branche principale. Il existe alors d’autres modélisations un peu plus complexes comme le flocon de Von Koch ou le chou Romanesco par exemple. Conclusion : Pour conclure, les mathématiques ne nous permettent pas en tant que telles de respirer, mais elles nous permettent de comprendre le fonctionnement de certains organes comme le poumon et de comprendre

. . . . . . . . e 1.2 Crise des math´matiques (1875-1925) . . . . . . . . e 1.2.1 Une courbe continue sans d´riv´e . . . . . . e e 1.2.2 Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Une ligne qui remplit un carr´ . . . . . . . . e 1.2.4 Koch en renfort de Weierstrass . . . . . . . 1.2.5 Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Au sujet de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 La dimension topologique . . . . . . . . . . 1.3.2 La dimension de Hausdorff-Besicovitch

Par ailleurs les amalgames aire-périmètre subsistent jusque très tard : ainsi cet élève de Première S, s’expriment sur l’aire et le périmètre du flocon de von Koch, en disant : “ Si le périmètre tend vers l’infini, alors forcément l’aire aussi, car l’aire et le périmètre d’une figure font la même chose ”. (Proposer dans ce cas l’anti- flocon de von Koch, cf. Les Fractales, Réflexions et travaux pour les classes, IREM de Poitiers). Situation proposée Sur la confusion aire-périmètre : a) tracer