Fonction de répartition

calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Exercice 1 Dans cet exercice, on considère la fonction f définie comme suit : x f (0) = 1, et pour tout x non nul de ] – , 1[, f (x) = (1  x ) ln(1  x ) 1) Montrer que f est continue sur ] – , 1[. 2) a) Déterminer le développement limité de ln (1 – x) à l’ordre 2 lorsque x est au voisinage de 0

probabilisable. Définition 4 Une probabilité sur (Ω, F) est une fonction P : F → [0; 1] telle que : 1. P(Ω)=1. 2. Pour toute suite (An )n∈N∗ d’éléments de F deux à deux disjoints et de réunion A : +∞ P(A) = An . n=1 7 Le triplet (Ω, F, P) est appelé un espace probabilisé ou un espace de probabilité. 1.2 Variable aléatoire réelle Définition 5 Soient (E, E) et (F, F) deux espaces mesurables. Nous disons que X : E → F est une fonction mesurable de (E, E) dans (F, F), si X −1 (F) est une sous-tribu

centrale limite). ( ) ( ) Loi Normale Centrée Réduite ] Loi du manque d’information ou « hypothèse nulle ». La loi exponentielle modélise généralement un temps d’attente ou une durée de vie. Par ex : ( ) [ { ( ) Fonction de répartition ) Identique à la loi normale. ( √ √ ) ( ) ( ) ∫ √ √ ( ) ∫ 0 1 Comparaison cas discret - cas continu Cas discret ( ) Fini ( ) Axiome de positivité ∑ ({ Axiome de totalité

Donner la fonction de répartition de X. 2- Quelle est la probabilité que la machine ait plus de 3 pannes ? 3- Calculer E(X) en donnant à 6 et plus une valeur moyenne de 7.5. Exercice 3 : Une urne contient 3 boules numérotées 1, deux boules numérotées 2, cinq boules numérotées 3. On tire simultanément deux boules et on considère la variable aléatoire X représentant le total des nombres marqués sur les deux boules. 1234Déterminer la loi de probabilité de X. Donner la fonction de répartition de X. Calculer

variable aléatoire Variables aléatoires finies Représentation d’une loi de probabilité finie Espérance mathématique d’une variable finie Variance et écart-type d’une variable finie Loi de probabilité produit Variables aléatoires indépendantes Fonction de répartition Variables infinies dénombrables (hors programme) Variables aléatoires continues Extension de la notion de variable aléatoire 4/179 Biostatistique - Carrat, Mallet, Morice 2011 - 2012 Sommaire 63 63 63 63 66 67 67 67 67 70 70 71

p > 0 (situation d’équiprobabilité), pourquoi aboutit-on à une contradiction ? 1.2 Intégrale généralisée d’une fonction Définition 1. • Soit f une fonction définie et continue (par morceaux au moins) sur un intervalle I = [a, b[ (où b peut être +∞) (Respect. sur un intervalle I =]a, b] où a peut être −∞). On dit x que l’intégrale de f sur I est convergente si la fonction F → F (x) = f (t)dt (respectivement a b f (t)dt), où x ∈ I, a une limite finie quand x tend vers b (resp. x

elles prennent leurs valeurs sur un intervalle qui n’est pas continu. 1 – Distribution de probabilité et fonction de répartition Chacune des valeurs de K P(K)=P(X=K) X(Ω) correspond à une probabilité P(K) La fonction de répartition d’une variable aléatoire est croissante, elle est encadrée par 0 et 1. Lim F(X)=1 lorsque x tend vers +∞ Pour les variables discrètes la fonction de répartition est en escalier. 2 – Paramètres descriptifs 1. 2. 3. Mode Valeur de la variable pour laquelle P(K)

et Modèle Statistique CHAPITRE 1 Introduction Considérons un problème de Fiabilité où l’on étudie la durée de vie X d’un matériel. Il est raisonnable d’admettre que celle-ci est aléatoire et X est alors une variable aléatoire (v.a.) de fonction de répartition (f.d.r.) F . Supposons que l’on soit précisément intéressé par l’évaluation de la probabilité que le matériel soit en marche après un temps t0 de fonctionnement, c’est à dire évaluer ¯ F (t0 ) = P (X > t0 ) = 1 − F (t0 ). Pour cela on observe

3.1.1. Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.1. Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.2. Variables aléatoires réelles absolument continues . . . . . . 3.1.2. Espérance mathématique d’une v.a.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2.1. Cas d’une variable discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2.2. Cas d’une variable aléatoire absolument continue . . . . . . 3.1.2.3. Espérance mathématique d’une fonction d’une v

d’une v.a. discrète 3 Fonction de répartition 4 Moments d’une v.a. discrète 5 Quelques lois usuelles discrètes I. Elhattab (ENCG) Variables Discrètes 2011 - 2012 2 / 27 Définition de variable aléatoire (v.a.) Définition de variable aléatoire (v.a.) I. Elhattab (ENCG) Variables Discrètes 2011 - 2012 3 / 27 Définition de variable aléatoire (v.a.) Variable aléatoire Définition Une variable aléatoire X est une fonction définie sur Ω à valeurs dans