Graphe biparti

de Mathématiques, Informatique et Applications F. ZINOUN Département de Mathématiques – Faculté des Sciences de Rabat Généralités Notion de fonction 2 Exemple d’écriture … 3 Domaine de définition d’une fonction 4 Courbe représentative (ou graphe) d’une fonction 5 Test de compréhension 6 y O x Sens de variation d’une fonction 7 Bornitude 8 Quelques exemples de fonctions en biologie Biologie des organismes 9 Dynamique de populations 10 Limites de fonctions Notion de limite 11

Exercice 1 La figure est un tétraèdre ABCD : M est un point de l'arête [AC], I est un point de l'arête [AD], K un point de (BC) et J un point de (CD) (=>ces 2 points sont hors du tétraèdre) L est un point de la face (ABD) La question c'est : trouvez l'intersection du tétraèdre avec le plan (KJL) Exercice 2 L’espace est rapporté au repère (O, i, j, k). Les points A, B, C et D ont pour coordonnées: A( -1, 0, 2) B(3, 2 , -4 ) C( 1, -4, 2 ) D(5, -2, 4) On considère les points I, J et K

Baccalauréat, série S – La Réunion, correction 29 juin 2010 Exercice 1 Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par f (x) = 1 + ln(1 + x). On note C f sa courbe représentative dans un repère orthononnal (O ; ı ; ). On note D la droite d’équation y = x. 6 points Partie A 1. (a) Sens de variation de la fonction f : f ′ (x) = 1 > 0 sur ] − 1 ; +∞[ 1+x La fonction f est donc croissante sur (O ; ı ; ) (b) Limites de la fonction f aux bornes de

EXERCICE 3 (10 points) On désigne par a un réel strictement positif et différent de 1. On se propose de rechercher, dans l’intervalle ]0 ; +∞[, les solutions de l’équation  E a : x a=a x . I Étude de quelques cas particuliers 1. Vérifier que les nombres 2 et 4 sont solutions de l’équation E2. Partie I 1. Équation E2 : x 2=2 x . On a 2 2=2 2 et 42 =24 =16 : 2 et 4 sont donc solutions de E2. 2. Vérifier que le nombre a est toujours solution de l’équation Ea. 2. a a =a a : donc a est solution de Ea

Devoir d’entraînement Exercice 1 Soit f la fonction définie sur R- 2 par : f (x) = ax² représentative dans un plan muni d’un repère orthonormal. Déterminez a, b, c pour que (C) ait les propriétés suivantes :  (C) passe par le point A(0 ; 5)  la tangente à (C) au point A est parallèle à l’axe des abscisses ;  la tangente à (C) au point B d’abscisse 1 a pour coefficient directeur – 3. Etudier les variations de la fonction f ainsi obtenue. Tracer (C). Exercice 2 Soit h la fonction définie par

Fonction logarithmique               Fonction exponentielle | * Nom de la fonction : logarithme népérien * Notation : Log, et plutôt : ln, de nos jours (logarithme népérien) * Étymologie : du grec logos = science, logique, raison et arithmos = nombre. Neper : logarithme, Huygens : logarithmique, Euler : nombre de Neper, népérien, forgés sur Neper). * Ensemble de définition : R+* = ]0 ,+ [ Périodique : non. * Fonction dérivée : (ln x)' = 1/x. * Nom de la courbe associée

Exercice 1 1) f’(1) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point D (1 ; 2), mais qui admet une tangente G (0 ; - 4) au point D. donc f’(1) = (yD-yG)/( xD –xG) = (2+4)/(1-0) = 6/1 = 6 f’(1) = 6 f’(2) = 0 Car f’(2) correspond au point E (2 ; 6) qui lui admet une tangente horizontale donc sa dérivée est égale à zéro. 2) L’équation tangente est : y = f’(a) (x-a) + f(a) Au point D, donc a = 1 f’(1) = 6 et f(1) = 2 donc, y = f’(1) (x-1) + f(1) y = 6x - 6 +

EXERCICE 2 (6 points ) (Commun à tous les candidats) Soient f et g les fonctions définies sur l’intervalle [0; +∞[ par : f (x) = xe−x et g(x) = x2 e−x . On note Cf et Cg les représentations graphiques des fonctions f et g dans le plan complexe muni d’un → − − → repère O, i , j . Partie A → − − → La courbe représentative Cf de la fonction f dans un repère O, i , j est donnée ci-dessous. − → j Cf − → i O 1. D’après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction f et sa

Niveau : 1e Fiche méthode : équation de la tangente à une courbe F. Demoulin −ı , → − . Soit f une fonction définie sur un intervalle On rapporte le plan à un repère orthogonal O ; → I et x0 ∈ I . On note C f sa courbe représentative dans ce repère. 1 Rappel de cours   ✄ Propriété 1.1 Si f est dérivable en x0 , alors la tangente à C f au point d’abscisse x0 a pour équation réduite : y = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) On la note T x0 . ✂ ✁ Illustration graphique : Soient M0 (x0 ; f (x0 )) et

Généralités et fonctions de référence I. Domaine de définition : Toute fonction est définie sur son ensemble de définition noté Df. Df est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles on peut trouver un réel et un seul, noté f(x). Parfois, une fonction est donnée sans que soit précisé son ensemble de définition. Dans ce cas, cet ensemble est constitué de tous les réels tels que f(x) soit calculable. Voici quelques écritures qui conduisent à définir un domaine de définition : 1  avec ≠0  √ 