Intégration continue

113 Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Généralités ......................................................................................................................................................... 117 Chapitre 2 > Intégration par parties .............................................................................................................. 125 Chapitre 3 > Intégrales et inégalités ...................................................................

orienté de dimension 3 130 45 Formes quadratiques 133 46 Transformations orthogonales 136 47 Endomorphismes auto-adjoints 140 48 Problèmes matriciels 146 49 Espaces vectoriels hermitiens 149 VI 152 Fonctions d’une variable 50 Fonctions continues 152 51 Fonctions monotones 155 52 Fonctions usuelles 157 53 Fonctions circulaires inverses 161 VII 163 Calcul différentiel 54 Dérivation 163 55 Fonctions convexes 169 56 Formules de Taylor 172 57 Calculs de développements limités

tente le théorème des gendarmes. Si la suite est de la forme un +1 = f ( un ) , avec f continue et ( un ) convergente, on cherche la limite de f parmi les éventuels points fixe de f, cad les solutions de f(L) = L. -1D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/ Les fonctions. Comment peut-on montrer qu’une fonction est continue ? si c’est en un point a, on applique la définition : f est continue en a si elle est définie en a et lim f ( x) = f (a ) . x →a si c’est sur un intervalle

Intégration TD2 Intégrale de Lebesgue : outils de calculs Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan. e-mail : ayman@crans.org On désigne par (X, A , µ) un espace mesuré. L 1 (µ) désigne l’ensemble des fonctions mesurables complexes f définies sur X vérifiant : |f |dµ < ∞ X 1 Théorème fondamental du calcul : Ce théorème regroupe deux résultats, connus depuis l’intégrale de Riemann (on omet volontairement les hypothèses pour l’instant) : x « F (x) := f (t)dt définit

de  dépend du signe de \ln{x} car  ;   Si  alors  d'où  est sous D Si  alors  d'où  est sur D Si  alors  = D   3)   4) Le signe de  dépend du signe du  Or pour ;  alors  d'où f est strictement croissante.   5) T:     6) a) F est continue et strictement croissante sur  alors f est bijective de  vers un intervalle = or  donc il existe un seul  tel que   donc    b)   donc  et  7)  et  sont symétriques par rapport à la droite d'équation    c) Calcul d'aire       1)  car  est

e4x+5 . 4 4 5. Intégration Soit f une fonction continue sur un intervalle I : b • Pour tous a et b de I, a b f (x) dx = [F (x)]a = F (b) − F (a) où F est une primitive de f sur I. x • Pour tout a de I, la fonction F définie par F (x) = x = a. e Exemple : 1 ln x (ln x)2 dx = x 2 e = 1 f (t) dt est la primitive de f sur I qui s’annule pour a (ln e)2 (ln 1)2 1 − = . 2 2 2 Propriétés de l’intégrale : Pour f et g continues sur un intervalle I

4. 5. 2 3 4 3 Ensemble des Nombres réels Limite et continuité Dérivabilité Etude d’une fonction EXERCICES 3 6 10 13 15 Primitives. Calcul intégral 16 1. 2. 3. 4. 5. 16 17 19 20 21 Primitives Intégration Méthodes d’intégration Calcul approché d’une intégrale EXERCICES Formule de Taylor. Développements limités 22 1. 2. 3. 4. 5. 22 23 24 26 27 Comparaison des fonctions Formules de Taylor Développements limités Applications

CALCUL INTÉGRAL 1. Définition de l'intégrale dans le cas d'une fonction continue positive sur un segment [a, b] 1.1. Définition L'unité d'aire r r Soit P un plan muni d'un repère orthogonal (O ; i , j ). y Soient I, J et K les points définis par : J r j uur r uuu r r uuur r r OI = i , OJ = j et OK = i + j O K 1 u.a. r i I x On appelle unité d'aire (notée en abrégé u.a.) l'unité de mesure des aires telle que : Aire(rectangle OIKJ) = 1 u.a. Remarques :

toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Exercice 1 Dans cet exercice, on considère la fonction f définie comme suit : x f (0) = 1, et pour tout x non nul de ] – , 1[, f (x) = (1  x ) ln(1  x ) 1) Montrer que f est continue sur ] – , 1[. 2) a) Déterminer le développement limité de ln (1 – x) à l’ordre 2 lorsque x est au voisinage de 0. 1 b) En déduire que f est dérivable en 0, puis vérifier que f ’ (0) = . 2 3) a) Montrer que f est dérivable sur ] – , 0[ et sur ]0

SESSION 2007 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 EXERCICE a. f est continue sur le compact [0, 1]2 en tant que quotient de fonctions continues sur [0, 1]2 dont le dénominateur ne s’annule pas sur [0, 1]2 , à valeurs dans R. On sait alors que f admet un maximum sur ce compact. b. f est de classe C1 sur l’ouvert ]0, 1[2 . On sait alors que si f admet un maximum en un point (x0 , y0 ) de cet ouvert, (x0 , y0 ) est un point critique de f. Or, pour (x