Intégration continue

aAntilles - Guyane 1. Exercice 1 6 points Question de cours Prérequis : positivité et linéarité de l’intégrale. Soient a et b deux réels d’un intervalle I de ℝ tels que a ≤ b . Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l’intervalle I, f (x) > g (x), alors ∫ b a f ( x ) dt ≥ ∫ b a g ( x ) dt . Partie A 1. Soit x un réel supérieur ou égal à 1. Calculer en fonction de x l’intégrale ∫ x 1 ( 2 − t ) dt . 1 . t 2. Démontrer

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe Exercice 1 - Avez-vous compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc 2 I= 1 7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3 Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit

Riemann-intégrable sur [a, b]. Correction [005917] 3 Quelles sont les fonctions Riemann-intégrables ? Exercice 2 Montrer qu’une fonction monotone sur [a, b] est Riemann-intégrable sur [a, b]. Correction [005918] Exercice 3 Montrer qu’une fonction continue sur [a, b] est Riemann-intégrable sur [a, b]. Correction [005919] Exercice 4 1 1. Montrer que la fonction f : [0, 1] → R définie par : f (x) = n’est pas Riemann-intégrable sur [0, 1]. 2. Montrer que la fonction g : [0, 1] → R définie par :

Plan 1 Intégrale des fonctions en escaliers Subdivision : Fonction en escalier Intégrale d'une fonction en escalier Fonctions Intégrables au sens de Riemann Propriétés de l'intégrale de Riemann Primitives Méthode de calcul des intégrales Intégration par partie Changement de variable Complément sur le calcul des primitives Mars 2012 2 3 4 5 Intégrale des fonctions en escaliers Fonctions Intégrables au sens de Riemann Propriétés de l'intégrale de Riemann Primitives Méthode de calcul des

I, si quelque soit [a, b] ⊂ I, alors b a f (x)dx existe. Remarque 4.1.1 Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables. On note par Loc(I, R) = { f : I −→ R : f localement intégrable}. On a alors C(I, R) ⊂ Loc(I, R) et l’inclusion est stricte. Comme exemple la fonction f (x) = [x], (partie entière de x) est localement intégrable mais non continue. Proposition 4.1.1 L’ensemble Loc(I, R) est un sous-espace vectoriel de F (I, R), (espace de toutes les fonctions définies

définie et continue sur [0, +∞[. Puisque 1 f (x) ∼ x3n+3 , la fonction f est intégrable sur [0, +∞[ et l’intégrale Jn x→+∞ converge. √ . a) Via une décomposition en éléments simples J0 = 32π 3 +∞ 0 0 A 0 ln vn+1 − ln vn = ln 3 =O 1 n2 n t − [t] 1 dt = t(t + n) n n t − [t] dt t 0 A+n t − [t] dt − t A t − [t] dt t Puisque A+n 1 1 1 + + ln 1 − n 3n 0 A+n t − [t] dt − t Enfin par la relation de Chasles x2 (1+x3 )n+2 dx. b) Jn − Jn+1 = x× En procédant à une intégration par parties

1.1 Définition : Soient a ∈ R et b ∈ R ∪ {+∞}. Soit f : [a, b[→ K une fonction continue x par morceaux. On pose F (x) = a b f (t) dt pour tout x ∈ [a, b[. On dit que f admet une intégrale impropre si F (x) admet une limite quand x → b par valeurs inférieurs. On note alors a f (t) dt cette limite. Remarque : • Si b ∈ R et si f est définie et continue par morceaux sur [a, b], alors F est continue sur [a, b] de sorte que f admet une intégrale impropre qui coïncide avec l’intégrale

MPSI/PCSI/ESC Intégration SUP/ESC 1. Méthodes d’intégration 1-1 : Intégrale immédiate 1-2 : Somme ou différence de fonctions 1-3 : Composée de fonction 1-4 : Décomposition en fractions rationnelles 1-5 : Par substitution (changement de variable) 1-6 : Réductions à des formes particulières 1-7 : Intégration par parties 1-8 : Décomposition en série 2. Intégration numérique 2-1 : Méthode des rectangles 2-2 : Méthode des trapèzes 2-3 : Méthode de Simpson 3. Diverses questions 3-1 : Introduction à

Fiches de révision : Intégration Soit a et b deux réels tels que a<b et f une fonction continue et positive sur l’intervalle [a ; b]. On appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal d’origine O. Puisque f est positif sur l’intervalle [a ; b], la courbe C est entièrement située au-dessus de l’axe des abscisses. On prend comme unité d’aire l’aire du rectangle de sommets le point O et les points de coordonnées (1 ;0), (1 ;1), (0 ;1). On appelle aire sous la courbe

Calculer I + J et I − J. En déduire I et J. 4. Application du changement de variable. Montrer: ∫ -- si f est impaire et continue sur [−a, a], alors −a a f ( t )dt = 0 (a > 0) ; a ∫ f ( t)dt (a > 0) ; -- si f est périodique de période T est continue sur R, alors ∫ f ( t )dt = ∫ f ( t )dt Calculer : ∫ x x + 1 dt ; ∫ sin t dt . -- si f est paire et continue sur [−a, a], alors 3 −3 4 2π ∫ a −a f ( t )dt = 2 0 a +T T a 0 . 3 0 5. Etudier