Intensité Factorielle

février 2012 CORRIGE II. Permutations sans répétitions et notation factorielle Analyse combinatoire 4ème - 1 I. Introduction Les différents modèles mathématiques construits pour étudier les phénomènes où intervient le hasard sont basés sur la notion de probabilité. Celle-ci exige des dénombrements d’ensembles finis. C’est l’objet d’étude de l’analyse combinatoire. Toute suite d’éléments choisis parmi les éléments d’un ensemble fini peut être ordonnée ou non, selon que l’on tient compte ou non

suivante, ils sont cinq et ont repéré une rangée de cinq places libres. Combien ont-ils de façons de s’installer ? (c) En déduire le nombre de façons d’arranger n objets à n places. On retiendra que : Si n est un entier naturel non nul, on appelle factorielle n, et on note n!, l’entier naturel : n! = n × (n − 1) × . . . × 2 × 1. 2. Le mois suivant, ils sont quatre mais la salle est pratiquement vide. Ils disposent d’une rangée R, équipée de 12 sièges libres. Combien ont-ils de façons de s’installer (pas

DENOMBREMENT I) Permutations et factorielle. 1) Exemple : une anagramme d’un mot est un nouveau mot constitué des mêmes lettres que celles du mot initial mais dans un ordre différent. Déterminer le nombre d’anagrammes du mot « Marie » qui contient 5 lettres distinctes. 1ère lettre 5 choix 2ème lettre 4 choix 3ème lettre 3 choix 4ème lettre 2 choix 5ème lettre 1 choix Chacune des ces anagrammes est appelée une permutation des cinq lettres m, a, r, i, e. Il y a donc 5 × 4 × 3 × 2 × 1 anagrammes

thDÉNOMBREMENT - COMBINATOIRE - LOIS DE PROBABILITÉS DISCRÈTES Dans tout ce qui suit, nous noterons n! le produit 1 ´ 2 ´ 3 ´ ... ´ n, ce produit s'appelle "factorielle n". On convient que 0! = 1. Exercices sur les factorielles : · Démontrer que 6! ´ 7! = 10! (sans calculer 10!) (n + 1)! n! · Démontrer que tout entier k : · Simplifier Puis que pour tout entier n non nul : (k + 1)! - k! = k ´ k! n! = 1 + å kk ! k =0 n -1 1. Principes de base du dénombrement On rappelle que le cardinal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Quelques grands principes élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 C II A B III A B IV A B V I A B C II A B III A B IV A B C D VI I II A B C D III A B IV A B C D E Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Permutations, p-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Permutations d’un ensemble . . . . . . . . .

printf("somme_nombres_formule (%d) = %d \n",n,somme_nombres_formule(n)); return 0; } –2/8– IN4A11 Exercices en C Les types simples 2 Factorielle (*) Écrire une fonction qui retourne la factorielle d’un entier positif ou nul (5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1). Que se passe-t-il en cas de dépassement de capacité ? Prototype : int factorielle(int n) ; 3 PGCD (*) Écrire une fonction qui retourne le plus grand commun diviseur (pgcd ) de deux nombres entiers positifs par l’algorithme

n http://laurentb.garcin.free.fr 5 si q = 1 si q = 1 . © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Exercice 2.1 n k2k . Calculer k=1 2.3 2.3.1 Sommes binomiales Coefficients binomiaux Définition 2.1 Factorielle n ∗ Pour n ∈ N , on note n! le produit des entiers de 1 à n i.e. n! = k. On convient que 0! = 1. k=1 Définition 2.2 Coefficient binomial Soit n ∈ N et k ∈ 0, n . ❶ ➀ n k = n(n − 1) . . . (n − k + 1) n! = k! (n − k)!k

Partie 1  1.1  1. Forme canonique disjonctive :  f(a,b,c)=a.b+a.c+b.c   = a.b.(c + c) + a.c(b + b) + b.c.(a + a)   = abc + abc + abc + abc + abc + abc Forme canonique conjonctive :  f (a, b, c) = a.b + a.c + b.c = (a + b)(a + c)(b + c) = (a + b)(a + c)(b + c)   = (aa + ac + ab + bc)(b + c) = aab + abc + abb + bbc + aac + acc + abc + bcc = abc + acc + abc + bcc   2. Table de vérité :  A  B  C  ab  ac   bc   f  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  1  1  1  0  1  0  0  0 

Par conséquent, si la condition n'est pas vérifiée avant l'entrée dans la boucle, on n'y entre pas, les instructions à l'intérieur de la boucle ne sont pas effectuées, et on passe à l'instruction suivant la boucle. Exemple: un autre calcul de factorielle n: Donner à F la valeur 1 Donner à I la valeur 1 tant que I 10 , faire: donner à F la valeur F*I Donner à I la valeur I+1 Fin tant que Afficher F Important: d'un point de vue algorithmique, dans tous les cas, il est important de bien réfléchir

déduire que si σ est l’écart-type de la série de nombres (a1 , a2 , ..., an ) et σ ′ son écart-moyen, alors σ n k=1 Rappel : σ = (ak − m)2 n n et σ ′ = k=1 |ak − m| n , où m est la moyenne arithmétique des ak . 7. : Encadrement de Gauss de la factorielle : (a) Montrer que pour n √ ij 1, n! = i+j=n+1 i 1,j 1 (b) Montrer que si i 1 et j 1, alors i + j − 1 n (c) En déduire l’encadrement : n 2 8. : Un encadrement de 2n n . n n+1 2 n! 2 i+j 2 ij . : (a) Montrer que : k 1 k 2n k impair