Lemme de Cesàro

n´cessairement une valeur qui est prise une infinit´ de fois ; e e b) L’ensemble {xn , n ∈ N} est infini et on est sous l’hypoth`se de ii). e Nous aurons besoin d’un r´sultat interm´diaire pour les espaces m´triques qui e e e est souvent utile. Lemme 3.2.3. (Lemme de la maille) Si une partie A d’un espace m´trique e v´rifie iii) et si ∪i∈I Oi est un recouvrement d’ouverts de A, alors il existe une e constante ρ > 0 tel que pour tout x ∈ A la boule B(x, ρ) est incluse dans un des Oi : ∀x ∈ X, ∃ix ∈ I, B(x

variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Le Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Exercices sur le chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 TABLE DES MATIÈRES 3 Espace fini ou dénombrable 3.1 Prérequis : quelques résultats utiles sur les séries . . . . . . .

max(deg(PB 0 + QB ) + 1; deg(PB + cQ)). Gr^ce a l'hypothese de recurrence nous obtenons : a deg(PA0 + QA)6 max(n + p; deg(cQ)). On a donc deg(PA0 + QA)6n + p. ( ) En utilisant le resultat precedent, Ln est bien lineaire de K n X ] dans K n+p?1 X ]. ( v) Lemme Soit (Pk )k2Nn une famille de polyn^mes non nuls de degres o tous deux a deux distincts. Cette famille est libre. Si n = 1 la famille est clairement libre. Supposons le resultat vrai pour tout famille d'au plus n elements. Considerons une famille de

l’étudiant de s’entraîner, comme certains exercices du chapitre I. Il contient des résultats plus récents ou des preuves moins classiques que nous ne saurions citer tous, comme l’équation de Daugavet au chapitre VIII, la preuve par série de Neumann du lemme de Wiener ou les caractérisations de l’algèbre de Deddens au chapitre X, et les propriétés fines des contractions au chapitre VI. Précisons un point important : on donne d’abord tous les énoncés d’un chapitre, ensuite tous les corrigés des exercices

début du siècle sous l'impulsion de Cauchy et dans un but essentiellement de rigueur. Les séries divergentes refont, à la fin du siècle, leur apparition. Il s'agit, dans certain cas, de donner une somme à de telles séries. Le procédé de sommation de Césaro est l'un des premiers. Borel fournit le sien, plus sophistiqué. Cela va vite devenir un sujet d'étude important que le XXe siècle va prolonger. 16 • Analyse complexe • La théorie des fonctions de la variable complexe, LE grand sujet de tout

que E est stable par multiplication. 2. Montrer que E = {P ∈ R[X] tq ∀ x ∈ R, P(x) 3. (Centrale MP 2000, avec Maple) P = que P = A2 + B2 . 0}. 65X 4 − 134X 3 + 190X 2 − 70X + 29. Trouver A et B dans Z[X] tels Correction [003248] Exercice 3249 Lemme de Gauss Soit P ∈ Z[X]. On appelle contenu de P le pgcd des coefficients de P (notation : cont(P)). 1. Soient P, Q ∈ Z[X] avec cont(P) = 1, et R = PQ. Soit p un facteur premier de cont(R). (a) Si p est premier avec le coefficient constant de P, Démontrer

stable par multiplication. 2. Montrer que E = {P ∈ R[X] tq ∀ x ∈ R, P(x) ≥ 0}. 3. (Centrale MP 2000, avec Maple) P = 65X 4 − 134X 3 + 190X 2 − 70X + 29. Trouver A et B dans Z[X] tels que P = A2 + B2 . [003247] [003246] Correction Exercice 3249 Lemme de Gauss Soit P ∈ Z[X]. On appelle contenu de P le pgcd des coefficients de P (notation : cont(P)). 1. Soient P, Q ∈ Z[X] avec cont(P) = 1, et R = PQ. Soit p un facteur premier de cont(R). (a) Si p est premier avec le coefficient constant de P, Démontrer

19. Résoudre l’équation fonctionnelle f (x) + f x−1 x = 1 + x pour x = 0, 1. I.6.20. Une suite converge au sens de Cesàro si C- lim xn = lim n→+∞ n→+∞ x1 + x2 + x3 + . . . + xn n existe et est finie. Trouver toutes les fonctions continues au sens de Cesàro, c’està-dire, telles que f C- lim xn n→+∞ = C- lim f (xn ) n→+∞ pour toute suite {xn } convergente au sens de Cesàro. I.6.21. Soit f : [0 , 1] −→ [0 , 1] une injection telle que f (2x − f (x)) = x pour tout x ∈ [0 , 1]. Prouver que f (x)

fn : x → x + ln(x) − n. ii. Démontrer que la suite (un )n∈N admet pour limite +∞. Indication : On pourra raisonner par l’absurde. (c) Démontrer que un ∼ n puis que un − n ∼ − ln(n). TD* 1. Théorème de Cesaro et lemme de l’escalier. Soit (un )n≥0 une suite réelle. (a) Théorème : moyenne de Cesaro. Pour tout entier naturel n non nul, on pose : u1 + · · · + un 1 vn = = n n n uk k=1 i. On suppose que la suite (un ) converge vers 0. Démontrer que la suite (vn )n≥1 converge aussi vers 0. Indication

n∞ entraîne celle de l'autre, et que l'existence des deux entraîne une contradiction. Conclure. 3.23 Moyenne de Césaro, lemme de l’escalier, applications a) Moyenne de Césaro Soient (u n )n∈N∗ une suite dans C, et (vn )n∈N∗ la suite définie par : ∀ n ∈ N∗ , vn = u1 + · · · + un . n Montrer que, si (u n )n∈N∗ converge vers ∈ C, alors (vn )n∈N∗ converge aussi vers . b) Lemme de l'escalier −→ Soit (u n )n∈N une suite dans C telle que u n+1 − u n − − n∞ ∈ C . Montrer : u n+1 un un −− −→