Lemme

Jaligot, Maurice Pouzet et mes coll`gues agr´gatifs, qu’ils en soient remerci´s. e e e Au fait, quel est le lien de tout ceci avec le lemme de Baire? Patience, j’y reviendrai. 2 Le lemme de Baire Je ne fais ici que rappeler le lemme de Baire et sa d´monstration la plus classique. e Ceux qui connaissent d´j` ceci peuvent se rendre au paragraphe suivant. ea Lemme 1 Soit E un espace de Banach, (On )n∈N une famille d´nombrable e d’ouverts denses de E. Alors ∩i∈N On est dense dans E. Dmonstration

LE LEMME DE BAIRE. Gilles Godefroy Institut de Mathématiques de Jussieu godefroy@math.jussieu.fr Voici exactement cent ans, René Baire mettait la dernière main à la version écrite (rédigée par un jeune normalien, Arnaud Denjoy) de son Cours Peccot, enseigné au Collège de France en 1903/1904, et le 22 septembre 1904 il en signait la préface. Où en était l’analyse en ce début de vingtième siècle? Rappelons-nous qu’à l’époque les travaux révolutionnaires, et controversés, de Georg

élémentaire que nous utiliserons à plusieurs reprises et dont nous laissons la démonstration au lecteur : Lemme de croissance : Soit P (z) = adz d + . . . + a0 ∈ C[z] un polynôme de degré d. Il existe R > 0 tel que pour tout z ∈ C vérifiant |z| > R : 1 2 |ad| |z|d 6 |P (z)| 6 2|ad| |z|d et, en particulier : lim |z|→+∞ |z|ν |P (z)| = 0 pour tout 0 6 ν < d . Pour aussi simple qu’il soit, ce lemme n’en demeure pas moins un résultat essentiel et il constitue l’argument-clef de la plupart des différentes

l’infini, on exprime ce second membre sous forme de somme d’intégrales, ce qui permet une majoration facile. L’essentiel de la technique se limite à des integrations par parties à établir par recurrence. lemme n ° 1 : une intégration par parties Une intégration par parties. Le lemme établi dans cette section servira pour la démonstration de la transcendance de e et et pour . Soit k ∈ N, et P un polynôme de degré N On pose : On a, pour tout nombre complexe : Démonstration :

c’est la catégorie Fl A des flèches de A. La fibration s = ϕ(hA ) est le foncteur “source”, et la cofibration t = π(hA ), le foncteur “but”. En particulier, on a un morphisme de foncteurs canonique s −→ t. On fixe à présent une petite catégorie A. 1.3. Lemme. Les fibres des foncteurs (hA ) : hA −→ A et π(hA ) : hA −→ A F −→ X . sont asphériques. En particulier, le premier est coasphérique, et le second est asphérique. Démonstration. Pour chaque objet a de A, (hA (a)) = a\A est une catégorie asphérique

large », c’est-à-dire une leçon de synthèse. 23.1 La fonction exponentielle complexe xn est convergente. n! zn Théorème 23.1 Pour tout nombre complexe z la série est convergente. n! On note f (z) la somme de cette série pour z ∈ C. Lemme 23.1 Pour tout réel x ≥ 0 la série Théorème 23.2 1. Pour tous nombres complexes λ et µ on a f (λ) f (µ) = f (λ + µ) avec f (0) = 1. 2. La restriction de f à R coïncide avec la fonction exponentielle réelle. Pour cette raison, on note, pour tout

Transcendance de e12 IV.1. Plan de la démonstration12 IV.1.a. Définition12 IV.1.b. Description de la méthode12 IV.2. Démonstration de la transcendance de e13 IV.2.a. Lemme n ° 1 : une intégration par parties13 IV.2.b. Démonstration de la transcendance de e par l'absurde15 IV.2.c. Première étape - lemme n° 2 : un lemme sur la dérivation.15 IV.2.d. Deuxième étape : l'égalité 17 IV.2.e. Troisième étape : minoration17 IV.2.f. Quatrième étape : majoration18 V. Transcendance de π21 V.1. Préliminaires21

Université de Nice Sophia-Antipolis Année Universitaire 2011/2012 L2M Statistique TD de Statistique Correction TD no 3. Exercice 1 : On utilisera le lemme suivant 1 Lemme Soit X une variable aléatoire continue telle que sa fonction de répartition F est dérivable sauf aux points x1, . . . , xn. Alors une densité f de X est dé�nie par f(x) = F ′(x) pour tout x ∈ R \ {x1, . . . , xn} et f(xi) vaut une valeur arbitraire positive. De plus en tout point x où f est continue, F est dérivable en x et véri�e

les axiomes ne sont pas soumis à l'expérience, même s'ils en sont souvent inspirés, notamment dans le cas des mathématiques classiques) ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique – dénommé généralement théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Bien que les résultats mathématiques soient

sémantique : en effet, étant donné un lemme courant, il est souvent possible de lui donner plusieurs signifiés, parmi lesquels l'un semblera objectif et invariant quels que soient les contextes, et les autres subjectifs (nuances mélioratives, laudatives, péjoratives, qui indiquent le point de vue du locuteur) et dépendant d'un contexte tel que la culture du locuteur, le registre de langue adopté, l'époque, la situation de communication, etc. Par exemple, étant donné le lemme renard, on peut dire qu'il possède