Lemme

est vraie pour tout n, la suite un converge dans pour tout ε > 0 vers une fonction u ∈ C α en vertu du lemme suivant : C α−ε lemme 2.4.11 Soit (uθ )θ≥θ0 une famille de fonctions C ∞ telle que uθ aj ≤ M θbj −1 , j = 1, 2, avec b1 < 0 < b2 , a1 < a2 ∞ Si on pose ν tel que νb1 + (1 − ν)b2 = 0 et a = νa1 + (1 − ν)a2 alors si a ∈ N, u = θ0 uθ dθ ∈ C a et u a ≤ CM Preuve du lemme : Calculons pour simplifier u a grace aux inégalités d’interpolations. u a ≤C ≤ ≤ u ν a1

Nous allons maintenant utiliser le deuxi`eme cas pour prouver les deux autres, cependant nous aurons besoin de deux lemmes : Lemme 1 Une translation conserve les angles et les longueurs. D´ emonstration : Ceci est imm´ediat d’apr`es l’axiome des angles correspondants d’une part, et les propri´et´es des parall´elogrammes d’autre part (voir figure). CQFD. 1 Lemme 2 Soient A, B, C, C quatre points distincts tel que C est l’image de C par la sym´etrie d’axe (AB). Alors les triangles ABC et

pgcd(a, ka) = a, pour tout k ∈ Z et a 0. – Cas particuliers. Pour tout a 0 : pgcd(a, 0) = a et pgcd(a, 1) = 1. 1.3. Algorithme d’Euclide Lemme 1 Soient a, b ∈ N∗ . Écrivons la division euclidienne a = bq + r. Alors pgcd(a, b) = pgcd(b, r) En fait on a même pgcd(a, b) = pgcd(b, a − qb) pour tout q ∈ Z. Mais pour optimiser l’algorithme d’Euclide on applique le lemme avec q le quotient. Démonstration Nous allons montrer que les diviseurs de a et de b sont exactement les mêmes que les diviseurs de b et

section, nous allons commencer par établir les lemmes 2 et 3 suivants (pour la démonstration d u lemme 3 voir l'Annexe Al) . Remarquons tout d'abord que si l'un des t k est nul, la solution triviale a k = 1 et ai = 0 pour i k conduit à la décomposition triviale 0(t) = ~(t — 0) qui n'a aucun intérêt . On écarte donc ce cas trivial en supposant dans cette section que tous les t k sont non nuls . Lemme 2 : Soient t 0 , . . ., t Q des réels arbitraires, distincts deux à deux et non nuls. S'il existe

s’écrit (1) 4c3 + 27d2 + 4db3 ≤ b2 c2 + 18bcd . Condition que nous supposerons vérifiée par la suite. 2) Les racines doivent être strictement positives. 3) Les racines doivent vérifier les inégalités triangulaires. Montrons tout d’abord le lemme suivant : Lemme Trois nombres réels sont strictement positifs, si et seulement si, leur somme, leur produit et la somme des doubles produits sont strictement positifs. Trois nombres réels sont strictement négatifs, si et seulement si, leur somme et leur

d'un résultat un peu plus général ,que on démontre ci-dessous Lemme: soit OpttEur(h,T) le prix à la date t, d'une option de valeur intrinsèque h, * Deux options écrite sur des pay-off (où valeur intrinsèque ) ordonnés ,ont des prix ordonnés , soit OpttEur(h1,T) ≤OpttEur(h2,T) 0≤h1≤h2 * Le prix est une forme linéaire positive , OpttEurα1h1+ α2h2,T=α1OpttEur(h1,T) + α2OpttEur(h2,T) p.s Prevue du lemme * Supposons que OpttEur(h2,T) ≤OpttEur(h1,T) et constituons

Tous droits réservés. http ://www.maths-france.fr 1 1 (version maths sup). Le travail précédent peut être effectué « à la main » en maths sup. n2 n=1 On établit d’abord un outil capital de la démonstration du théorème de Dirtichlet : le lemme de Lebesgue. 2) 2eme calcul de a/ Une expression de 1 sous forme intégrale. n2 π +∞ On cherche des réels a et b tels que ∀n ≥ 1, 0 (at2 + bt) cos(nt) dt = 1 . n2 Soit n ∈ N∗ . Deux intégrations par parties fournissent π (at2 +

fonction de In−1. c) En déduire que π 4 π6 (2n)!! In. − un = 6 (2n − 1)!! π2 1 π2 et en déduire que ξ = . 4 2n + 1 6 d) Démontrer que In II. Par le lemme de Riemann-Lebesgue Le lemme : Soit ƒ une fonction de classe C1 sur un intervalle [a, b] à valeurs dans . Soit λ un réel. Alors lim λ →+∞  1. Démontrer le lemme pour ƒ de classe C1. (On pourra intégrer par parties) 2. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout n ∈ n p =1 n  * : 3. Démontrer que cos( pt

la notation |x| correspond à la norme euclidienne usuelle, ie |x| = ( x2 1 + · · ·+ x2 d )1/2 . (1.10) La preuve de la Proposition 1.4 utilise notamment des intégrations par parties, dont la version multi-dimensionnelle est donnée dans le lemme suivant. Lemme 1.5. Soient f et g deux fonctions C1 sur Rd, l’une étant à support compact. Pour tout 1 ≤ j ≤ d, on a ∫ (∂xjf)g dx = − ∫ f(∂xjg) dx. Démonstration. Pour fixer les idées on suppose j = 1. Comme on intègre une fonction continue à support

(δ− (y) − x∗ )2 . (3.2.15) Fig. 3.1 – Exemple de domaine Ω. Nous utiliserons deux lemmes dont les démonstrations se trouvent dans [50]. Lemme 3.2.1. On suppose la condition B vérifiée. Alors il existe deux constantes C1 et C2 strictement positives telles que C1 d(y) ≤ min{|y − y ∗ | 2 , |y − y∗ | 2 } ≤ C2 d(y), pour tout y tel que (δ− (y), y) ∈ Γin . Lemme 3.2.2. On suppose que la condition B est vérifiée. Soit V ∗ un voisinage de Γ∗ dans Γin . Alors, il exsite deux constantes M1 et M2 strictement