Lemme

des axiomes déclarés vrais ou sur des postulats provisoirement admis. Ces axiomes en constituent les fondements et ne dépendent donc d'aucune autre proposition. Un énoncé mathématique – dénommé généralement, après être validé, théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Un énoncé présenté comme plausible, mais

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 4 6 6 2 Inégalités pour les adolescents Lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Markov ou Bienaimé-Tchebytchev . Inégalité

Applications Exemple 17.2 On rappelle qu'un projecteur est un endomorphisme u de E tel que u ◦ u = u. Un tel projecteur étant annulé par X 2 − X, son polynôme minimal est πu (X) = X si u = 0, πu (X) = X − 1 si u = Id, πu (X) = X 2 − X dans les autres cas. Lemme 17.1 Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u, le polynôme minimal de la restriction de u à F divise alors celui de u. stable par u. De πu (u) = 0 dans L (E) , on déduit que πu (v) = 0 dans L (F ) , donc πu est dans l'idéal annulateur

simple d’une série entière a des particularités intéressantes qui nous amène à définir des notions spécifiques : celles de disque de convergence et de rayon de convergence. Remarque 7.1. Toute série entière converge pour la valeur 0 de la variable. Lemme 7.1 (lemme d’Abel). S’il existe une valeur réelle r strictement positive telle que la suite (an rn ) soit bornée, alors la série an z n converge absolument pour tout nombre complexe z de module strictement inférieur à r. démonstration. en cours 4

notation tA est utilis´e par certains auteurs. e 3.2. PRODUIT DE MATRICES Lemme 3.1.6. Soit α, β ∈ R et A, B ∈ Mm,n (R). Alors, (3.2) (αA + βB)T = αAT + βB T . 33 Preuve : Soit 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ m. On a ( (αA + βB)T )ij = (αA + βB)ji = (αA)ji + (βB)ji = α(A)ji + β(B)ji = α(AT )ij + β(B T )ij . Cela implique (3.2). Remarque : Le lemme pr´c´dent signifie que l’op´ration de transposition est lin´aire. e e e e Lemme 3.1.7. Soit A ∈ Mm,n (R). Alors, (3.3) (AT )T = A. Preuve : Soit 1 ≤ i ≤

maintenant f ∈ F 0 , (i) appliqu´ a g = f montre que e` + ` tout n, et en passant a la limite on obtient α ≤ f dµ. Par suite ¯ ` 2) Les fonctions positives : Dans la suite on note F + l’ensemble des fonctions mesurables a valeurs dans I¯ + R Lemme 13 Toute fonction f de F + est limite simple d’une suite croissante (fn )n≥1 de fonctions mesurables positives etag´ es (i.e. f (x) = limn ↑ fn (x) pour tout x ∈ E). ´ e Preuve. Il suffit de poser : fn (x) =    k 2n si k 2n ≤ f (x) <

f—it que L(f ) ≤ U (f )D en toute génér—litéD n9est p—sD à prioriD évident et ser— montré ultérieurement d—ns le lemme QF Exemple-out l— fon™tionD f : [0, 1] −→ R x −→ f (x) := I pour x ∈ Q H pour x ∈ Q / n9est p—s ‚eim—nn sntégr—˜le ™—r U (f, P ) = 1 et L(f, P ) = 0 pour toute p—rtition P de [0, 1]. p—r suiteD U (f ) = L(f ). Analyse S Premier cycle Bekkali Lemme 1 Notions fondamentales d'analyse SUHUF Soit f une fonction bornée sur I , P ⊆ Q deux partitions de I

http://www.youtube.com/watch?v=dPXyEU5a94c I’m sponsorin’ one of them starvin’ kids. You ever done that? Lemme (let me) tell you summ’n (something), this is the biggest rip-off known to man, and I like to help people out. And I was doin’ it for three years. I was sponsorin’. I adopted one of them (argot pour these/those) pygmies down there. Alright. Seriously, lemme tell you some true story. I get a letter in the mail the other day. Certified letter. Alright. The kid that I adopted busted up

de x à y en n étapes. La période d’un état x ∈ E est : PGCD {n ∈ N*; π⁽ⁿ⁾(x,x) &gt; 0}. Un état est dit apériodique si sa période est 1. Une chaîne de Markov est apériodique si tous ses états sont apériodiques. On a besoin du lemme suivant : Lemme1 : Si A est un ensemble fermé pour l’addition et de pgcd égal a 1 alors il existe un k0 tel que A contient tous les entiers ≥k0. Théorème 1 : Soient X une chaîne de Markov récurrente irréductible, apériodique et π sa matrice de

pour chaque A−1 . k(s)−1 β (s) = A#(+1 · A−1 Aσ(s) #(−1 ds s) Ds Prop 4 = Aσ(s) −A2 − A−2 2.2 Le polynôme de Jones Pour un diagramme orienté, on a deux types de croisements: 12 On dénit alors w (D) = somme Lemme: Dém: des signes des croisements En anglais, on l'appelle writhe (vrillage, contorsion ?). w est invariant par des mouvements de Reidemeister de type II et III et varie de ±1 par les types I. Figure 23: Mouvements de type I