Lemme

AMAEBOBIONTES OPISTHO- CHONTES Centro- helida Mito- chon- drie Paroi cellulaire Plas- ma- lemme Cyto- plasme Laminarine Ribosome 80S ADN pro- caryotique Ribosome 70S ADN euca- ryotique Stigma Centrosome Cinétosomes et racines undulipodiaires. Les undulipodiums ne sont pas dessinés ici Phy- so- des Mito- chon- drie Mito- chon- drie Paroi cellulaireParoi cellulaire Plas- ma- lemme Cyto- plasme Plas- ma- lemme Cyto- plasme LaminarineLaminarine Ribosome 80S Ribosome 80S ADN pro- caryotique Ribosome

est un groupe ab´lien e . est une application de K × E dans E (l’image de (λ, x) par cette application est not´e λ.x). e ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x + y) = λ.x + λ.y ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α + β).x = α.x + β.x ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E α.(β.x) = (αβ).x ∀x ∈ E 1K .x = x Lemme 2. Soit E un K-ev. Alors: i) ∀α ∈ K α.0E = 0E ii) ∀α ∈ K ∀x ∈ E α.(−x) = −(α.x) iii) ∀x ∈ E 0K .x = 0E iv) ∀α ∈ K ∀x ∈ E (−α).x = −(α.x) Indication pour i). Soit α ∈ K. Consid´rer α.(0E + 0E ). e Rq. 3. Soit E un K-ev. Alors: i) ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ

+ o Å 1 n2 ã = − 1 2n2 + o Å 1 n2 ã ∼ n→∞ − 1 2n2 Ainsi, la série ∑(tk − tk−1) converge. Le théorème de sommation des équivalents nous donne +∞∑ k=n+1 (tk − tk−1) = −tn ∼ n→∞ −1 2 +∞∑ k=n+1 1 k2 . 1Développement asymptotique de la série harmonique Lemme. Soit α > 1, alors ∑+∞ n+1 1 kα ∼ n→∞ 1 n . Démonstration. Si α > 1, la fonction t 7→ 1 tα est intégrable et décrois- sante sur [1,+∞[. Ainsi, si k ≥ 2 1 (k + 1)α ≤ ∫ k+1 k dt tα ≤ 1 kα ≤ ∫ k k−1 dt tα . En sommant cela entre n+1 et N puis en

Remarques . — • Un endomorphisme sym´trique, antisym´trique ou orthogonal est normal. e e • Clairement, si F est un sous-espace de E stable par un endomorphisme u sym´trique, e antisym´trique ou orthogonal, F est aussi stable par u∗ . On montrera (Lemme 8) que ce r´sultat est e e en r´alit´ vrai pour tous les endomorphismes normaux d’un espace euclidien de dimension finie. e e Remarques (dimension finie). • Si E est de dimension finie tout endomorphisme admet un adjoint, et si B = (e1 , · · · , en )

5 Preuve Les in´egalit´es de la deuxi`eme ligne sont des cons´equences de la premi`ere, et pour prouver celle–ci, on d´emontre |a + b|2 (|a| + |b|)2 , et on applique le Lemme 1.10 Soient x, y ∈ IR 0. Alors, x < y ⇐⇒ x2 < y 2 , et x = y ⇐⇒ x2 = y 2 . ✷ Le lemme suivant est tr`es utile : Lemme 1.11 Entre deux nombres r´eels a < b il y a toujours une infinit´e de nombres r´eels diff´erents. Preuve Commen¸cons avec a+b < b. 2 En r´ep´etant cette construction on

. . . . . . . 61 61 62 62 62 ` TABLE DES MATIERES 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 5 6.2.3 Changement de num´eraire . . . . . . . . . . . . . . . AOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Lemme sur la transform´ee de Laplace . . . . . . . . 6.3.2 Preuve du th´eor`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluation d’un actif r´eplicable dans un march´e viable . . . March´e complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5

mathématicien grec Ptolémée, dont il se servit pour ses calculs liés à l'astronomie. Sommaire  [masquer]  * 1 Énoncé * 2 Démonstration de l'implication directe * 2.1 Par raisonnement géométrique * 3 Démonstration de la réciproque * 4 Lemme * 5 Voir aussi * 6 Liens externes | ------------------------------------------------- Énoncé[modifier] Théorème de Ptolémée — Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme

sousespace vectoriel de l’espace de toutes les fonctions de M dans V . Si V = R, on montre de manière analogue que le produit de deux fonctions 1 continues est continu et que la fonction f est continue, si f est continue et non-nulle partout. 4.15. Lemme. (Continuité des composantes.) Soient N, M1 , M2 des espaces métriques. (1) Une application f : N → M1 × M2 , x → f (x) = (f1 (x), f2 (x)) est continue si et seulement si les deux composantes fi : N → Mi , i = 1, 2, sont continues. (2) Les deux projections

multiples de p. Or entre 1 et pn , il y a exactement pn−1 multiples de p. Donc ϕ (pn ) = pn − pn−1 = pn−1 (p − 1). Enfin, on va calculer la valeur de ϕ en un produit de deux nombres premiers distincts. Ceci nous servira en effet dans l’algorithme RSA. Lemme 1.1 Soient p et q deux nombres premiers distincts. Alors ϕ (pq) = (p − 1) . (q − 1) D´monstration Pour calculer ϕ (pq), il nous suffit de calculer le nombre d’ene tiers compris entre 1 et pq qui ne sont pas premiers ` pq. Ce sont bien sˆr les a u multiples

construire dans le cas g´en´eral consiste ` a prendre un sous-ensemble A ⊂ Ω arbitrairement. Et alors la collection F = {∅, A, Ac , Ω} est une tribu contenant 4 ´el´ements (sauf dans les cas triviaux A = ∅ ou A = Ω, quand elle ne contient que 2). → 1.4 Lemme. Soit Ω un ensemble et F ⊂ P(Ω) une collection de sous-ensembles de Ω. Alors les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes. (i) F est une tribu sur Ω. (ii) F v´erifie les conditions suivantes : (i) ∅ ∈ F, (ii) si, pour tout n ∈ N on a An ∈ F, alors