Lemme

Introduction à l’optimisation discrète Le problème du flot maximum Formulation et propriétés Algorithme de Ford et Fulkerson Algorithme d’Edmonds et Karp Applications Théorème de Hoffman Condition suffisante Nous avons besoin du lemme suivant Lemme de Minty Soit G = V , A) un graphe orienté dont les arcs sont arbitrairement coloriés en vert, rouge, noir (certains arcs peuvent être incolores) dont au moins un arc a0 est noir. Alors une et une seule des propositions (i) et (ii) est vraie

générale. Indication pour l’exercice 12 Il ne faut surtout pas chercher à calculer 15! = 1 × 2 × 3 × 4 × · · · × 15, mais profiter du fait qu’il est déjà “presque” factorisé. Indication pour l’exercice 13 Raisonner par l’absurde et utiliser le lemme de Gauss. Indication pour l’exercice 14 Pour 1. utiliser l’égalité xb − 1 = (x − 1)(xb−1 + · · · + x + 1). Pour 2. raisonner par contraposition et utiliser la question 1. La question 3. est difficile ! Supposer a b. Commencer par montrer que pgcd(2a

377 987 2584 6765 17711 46368 121390 Table 3.1 – Complexités des graphes FAN. Exemple 3.1.6. Sur la figure ci dessous, nous avons un graphe FAN d’ordre 3 et son graphe dual ( avec des pointillés ). Figure 3.1.3 – Le graphe dual du graphe FAN (F3) Lemme : La complexité de dual d’un FAN est présentée comme suit : τ(F ∗n) = τ(Fn) = 1√ 5 (( 3+ √ 5 2 )n+1 − ( 3− √ 5 2 )n+1 ) , n ≥ 1 283.1.3.2 Graphe planaire WHEEL. Définition 3.1.7. On appelle un graphe WHEEL d’ordre n noté Wn, tout graphe de taille m

Définition (Tribu) : Soit F une famille de parties d’un ensemble Ω. On dit que F est une tribu sur Ω ssi : 1. 0 ∈ F / 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F (Stabilité par complémentation) 3. (∀i ∈ N, Ai ∈ F ) ⇒ i∈N Ai ∈ F (Stabilité par intersection dénombrable) Lemme : F est une tribu Si ∀i ∈ N, Ai ∈ F ∞ Alors i=1 Ai ∈ F Proposition : Soit C une famille de parties de Ω Il existe une tribu sur Ω notée σ (C ) et appelée Tribu engendrée par C telle que : 1. C ⊂ σ (C ) 2. Pour toute tribu T , (C ⊂ T ⇒

invariante strictement positive sur E et toutes les mesures invariantes sont proportionnelles. Ce résultat découle des deux lemmes suivants, le premier établit l’existence d’une mesure invariante, le second son unicité à un facteur multiplicatif près. Lemme . (existence) Soit X une chaîne de Markov homogène de matrice P, irréductible récurrente. On fixe un état k et on pose ∀ j ∈ E, νk = E k j 1Xn = j 0≤nn ) = Ek n∈N n∈N = = Ek 1Xn+1 = j 1τk >n 1Xm = j = νk . j (Tonelli) 1Xn+1 = j = Ek

dont on déduira facilement les résultats pour les séries entières réelles. La première question à se poser est celle du domaine de convergence : pour quelles valeurs , la série converge ? 2. Domaine de convergence d’une série entière : Lemme d’Abel :  S’il existe tel que la série converge, alors la série entière est absolument convergente pour tout tel que .  Et s’il existe tel que la série diverge, alors la série entière est

Kn dω ≤ Cλ (Ln ) (λ mesure de Lebesgue), et, pour vérifier (I.1), il suffit de voir que limn→+∞ λ (Ln ) = 0 : 6 Université Bordeaux I - Master de Mathématiques Pures - Analyse Complexe - Automne 2010 I.2. INTÉGRATION DES 1-FORMES DIFFÉRENTIELLES Lemme. Il existe une constante B > 0, indépendante de n, telle que le volume de Ln est majoré par B2−n . De plus, il existe une constante A, indépendante de n, telle que le nombre de carrés composant Ln est majoré par A2n . √ −n 22 . Comme ∂ K est un compact

tn |y (t)|dt . On déduit de (3.5) et (3.8) la relation en+1 = en + hn (f(tn , y(tn )) − f(tn , yn )) + hn (1 + hn L) |en | + hn | d’où, en utilisant l’inégalité (3.7), |en+1 | résultat sur la majoration des solutions d’inégalités récurrentes. Lemme 3.2. Soit (θn )n et (μn )n θn+1 n+1 , (3.10) n+1 |. Donnons maintenant un 0 0 deux suites de réels positifs ou nuls qui vérifient 0 (1 + hn L)θn + μn+1 , n pour une certaine constante positive L. On a alors la majoration

d’´l´ments de A . ee (b) Montrer que µ lim inf An ≤ lim inf µ(An ) , n→∞ n→∞ et que si µ(∪n≥1 An ) < ∞, alors µ lim sup An n→∞ ≥ lim sup µ(An ) . n→∞ n≥1 µ(An ) (c) Lemme de Borel-Cantelli. On suppose que < ∞. Montrer que µ lim sup An n→∞ = 0. Mathilde Weill - ENS - FIMFA 07/08 3. Deux applications du lemme de Borel-Cantelli. (a) Soit ε > 0. Montrer que pour presque-tout x ∈ [0, 1] (pour la mesure de Lebesgue), il n’existe qu’un nombre fini de rationnels p/q avec p et q premiers

fonctions affines F i (w) = (w − u0 , ai ), alors K = {w ∈ V, Fi (w) = 0}, et (2.5) se réécrit  u ∈ K  m (2.6) (2.1) ⇔ ∃λ1 , .., λm , J(u) + λi Fi = 0.  i=1 Si M est engendré par un nombre fini de vecteurs, alors on peut décrire M : Théorème 2.5 (Lemme de Farkas) . 0}, alors c ∈ M si et seulement si −c apSi M = {c ∈ V, ∀i ∈ {1, .., m}, (c, ai ) o 0 tels que partient au c^ ne convexe engendré par les ai , i.e. il existe {λ1 , .., λm } tous m c=− i=1 λi ai . 12 Intéressons nous maintenant