Lemme

récursion pour la métamathématique", de R. Smullyan (Masson, 1995), avec pour application le théorème de Rice et ses multiples conséquences (attention, il faut connaître un peu le 14 domaine pour pouvoir se lancer dans ce genre d’originalités...). Lemme 32 Soient U et V des ouverts des espaces normés E et F . On se donne h de U dans V , h bijective, dérivable en x0 . Alors h−1 est dérivable en h(x0 ) si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées : • Dh(x0 ) est un isomorphisme de

différence non symétrique 1 A \ B = A ∩ B ∁ ∈ M Evidemment, tout ensemble X possède des tribus, par exemple : – M = {∅, X} la plus petite – M = P(X) la plus grande Pour construire des tribus "intéressantes" sur X, on utilise souvent le résultat suivant : Lemme 1.2. Soit {Mi }i∈I une famille quelconque de tribus sur X. Alors M = sur X. Démonstration. La vérification est immédiate. Mi est encore une tribu Conséquences: – ∅ ∈ M car X ∈ M ∁ iii) Si An ∈ M, ∀n ∈ N, alors An ∈ M iii’) Si A, B ∈ M, alors

existe des fonctions convexes non unimodales et des fonctions unimodales non convexes. L’int´rˆt des fonctions unimodales tient ` la propri´t´ suivante : ee a ee 2 Lemma 1 Tout minimum local d’une fonction unimodale en est minimum global. Ce lemme, de mˆme que le suivant, se d´montre facilement (par l’absurde). e e Lemma 2 Soit f : [a, b] → R, unimodale. Soit xG , xD tels que a < xG < xD < b; alors : f (xG ) < f (xD ) =⇒ x ∈ [a, xD ] ˆ f (xG ) > f (xD ) =⇒ x ∈ [xG , b] ˆ f (xG ) = f (xD ) =⇒

les deux ¶egales µa l 2 R, alors pour n tendant vers l'in¯ni l á inf k¸n uk · un · sup k¸n uk ¡! l; ce qui prouve le r¶esultat. 2 Un autre r¶esultat qui sera utile dans le cours concerne les sommes doubles dans R. On note R+ = [0;+1]. 4 Lemme 1.1.4 Soit (uj;k) une suite double de R+. Alors X j à X k uj;k ! = X k 0 @ X j uj;k 1 A: Cette somme est simplement not¶ee P j;k uj;k. Preuve. On sait d¶ejµa que pour j ¯x¶e la s¶erie P k uj;k converge dans R puisque son terme

qu’on souhaite simuler n’a pas un support borné ? On va généraliser les principes ci-dessus. Le lemme ci-dessous est la réciproque du théorème précédent : il dit que si on sait simuler une variable aléatoire de densité g (par exemple par inversion de la fonction de répartition), alors on peut pour tout c > 0 facilement simuler un vecteur aléatoire de loi uniforme sur {(x, y) ∈ R2 , 0 < y < cg(x)}. Lemme 4. Soit g une densité de probabilité sur R. Soient X et U deux variables aléatoires indépendantes

definitions, lemmes, theoremes, exemples... Remarquons que les combinaisons de lignes vides sont effacees. De meme que toute combinaison de blancs. Ou les blancs en debut de ligne. *****Fin***** Hors d’un environnement, le texte est colle a gauche. ***Lemme 1[espace et environnements]*** Dans un environnement, le texte est decale. Sauf si le texte est beaucoup trop long a afficher sur une seule ligne, et dans ce cas la coupure depend de la taille de la ligne. *****Fin***** Les commentaires sont effaces

provisoirement le r´sultat 2.) que g est affine. Ainsi f est affine. e Montrons maintenant l’affirmation 2. Soit donc g une bijection qui envoie trois points align´s sur trois points align´s. On proc`de par ´tapes et on montre les lemmes e e e e suivants. 2. Lemme 1.1.2 – Si F est un sous-espace affine de E, alors g −1 (F ) est un sous-espace affine. Soit F un sous-espace affine, et G = g −1 (F ). Pour montrer que G est un sous-espace affine, il suffit de montrer qu’il est non-vide (ok puisque g est bijective) et que

) ≤ 2−k−1 , ∀k ∈ N donc n−1 k=0 yk+1 − yk ≤ n−1 −(k+1) k=0 2 = 1 n 1 1−( 2 ) 2 1− 1 2 = 1 − ( 1 )n ≤ 1 2 donc yn − y0 ≤ 1 yn ≤ 1 + y0 donc la suite (yn )n∈N est croissante et major´e donc elle converge vers un e r´el r(x). e 4) Lemme 1. Si k : G → R v´rifie S alors ∀a ∈ Z, ∀y ∈ G, h(ay) = ah(y). e D´monstration. Soit y ∈ G. On a h(0) = h(0 + 0) = h(0) + h(0) donc h(0) = 0. h(0) = e h(y + (−y)) = h(y) + h(−y) = 0 donc h(−y) = −h(y). Par r´currence sur n ≥ 1, montrons e que h(ny)

· · · , h(N − k + 1), 0N−k ] (si k > N − L) Remarque : T1 une matrice Toeplitz de taille N × N T2 une matrice Toeplitz de taille N × L Philippe Ciblat OFDM : principe et applications 4 / 21 Principe de l’OFDM Détection en OFDM Lemme 1 (I) Considérons la relation Entrée/Sortie suivante Y = WX avec W une matrice quelconque de mélange (d’où, interférence) MIMO ˜ IES si W = T1 et X = 0, i.e., si présence d’un intervalle de garde entre les blocs ˜ IES si X s’écrit linéairement en

int´rˆt et leurs usages ; ee calculs d’un automate et langage reconnu ; d´terminisme, comment s’en dispenser, et comment s’en assurer ; e langages reconnaissables ; leurs propri´t´s de stabilit´ ; ee e langages rationnels ; le th´or`me de Kleene et le lemme de pompage ; e e expressions r´guli`res ; e e le probl`me de la minimisation e Lyc´e Louis-le-Grand e Ann´e 2003–2004 e Automates option informatique 1/74 2/74 Automates Automates 2 Alphabet et mots Un alphabet est un ensemble