Lemme

est de degré deg(vn+1 2 ) = 4 , les deux sommets d’extrémité de graphe Double-Fan v2 et vn−1 sont de degré 2 et les autres sommets restant du graphe sont tous de degré 3 (voir la Figure 3.8 ). Figure 3.8 – Exemple de graphe Double-Fan DFn d’ordre n Lemme 1. Soit DFn un graphe Double-Fan d’ordre n ≥ 7, donc : dDFn(3) = 1 4n 2 − 3 2n+ 5 4 (3.11) Théorème 14. Soit DFn le graphe Double-Fan d’ordre n ≥ 7, défini pré- cédemment. Donc, l’indice de Wiener de ce graphe est : W (DFn) = 5 4n 2 − 9 2n+ 17 4 (3

Moyennes d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irrationnalité de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zéros d’une base de solutions d’une équation différentielle ordinaire . Union finie de sous-espaces

divisible par p, il existe k≥ 1 tel que ak≡ 1mod p. Il existe en fait une version explicite : Théorème 11 (petit théorème de Fermat)   Si p est premier et si a est premier avec p (c.a.d. non divisible par lui), alors ap−1≡ a mod p. On utilisera le lemme : Lemme 12   Soit G un groupe commutatif d’ordre fini n. Alors, pour tout x∈ G, xn=e. Proof. En effet, y↦ xy est une permutation de G. Donc ∏y∈ G y=∏y∈ G (xy)=xn∏y∈ G y. On peut simplifier, d’où xn=e. Posons G={1,2,…,p−1} et munissons G de la loi

born´es sur Ω, stable par multiplicae e e tion et contenant les constantes. Tout espace vectoriel monotone contenant C contient les fonctions born´es mesurables par rapport ` σ(C). e a Lemme 1 Soit H0 le plus petit sous espace vectoriel monotone contenant C. Alors H0 est stable par multiplication. Lemme 2 Si H0 est un espace vectoriel monotone de fonctions born´es, stable par multie plication, alors il co¨ncide avec b(σ(H0 )), o` b(σ(H0 )) est l’ensemble des fonctions born´e ı u e et mesurable

complexes, la série entière de la variable complexe z associée à la suite notée : (an ) est la série de fonction de C dans C an z n Lemme : Soit une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z, an z n = O(| zz0 |n ) an z n Théorème : lemme d'Abel Soit an z n une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe

absolument convergente et si |x| > 1 la série diverge. Etudions le cas où |x| = 1. 1 x = 1 : c’est la série harmonique , elle est divergente. n (−1)n , elle est convergente. x = −1 : c’est la série harmonique alternée n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn0 ) soit bornée. Alors : 1. La série an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. 2. La série an xn est normalement convergente pour |x| < r

algébrique. 2. Dérivations. Langage engendré. 3. Arbre de dérivation. Dérivations à gauche. 4. Grammaires régulières. 5. Ambiguïté. Graphe orienté d’une grammaire algébrique. LE LEMME DE L’ETOILE (en anglais : « pumping lemma ») 1. Le lemme de l’Etoile pour les grammaires régulières. 2. Un exemple d’application du lemme de l’Etoile. ANALYSE SYNTAXIQUE (en anglais : « parsing ») 1. Test sur le préfixe terminal dans les analyses syntaxiques descendantes. 2. Analyse syntaxique descendante en largeur

fn (x) n+1 convergente et si |x| > 1 la série diverge. Etudions le cas où |x| = 1. 1 x = 1 : c’est la série harmonique , elle est divergente. n (−1)n x = −1 : c’est la série harmonique alternée , elle est convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn0 )n soit bornée. Alors : 1. La série an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. 2. La série |x0 |. an xn est normalement convergente pour

n fn (x) convergente et si |x| > 1 la série diverge. Etudions le cas où |x| = 1. 1 x = 1 : c’est la série harmonique , elle est divergente. n (−1)n x = −1 : c’est la série harmonique alternée , elle est convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn )n soit bornée. Alors : 0 1. La série 2. La série |x0 |. an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. an xn est normalement convergente pour |x|

Filtrations 1.1 Notion de Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Anneau de Rees d’une filtration . . . . . . . . . . . 1.3 Anneaux gradués associés à une filtration . . . . . . 1.3.1 lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Classification des filtrations . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Filtration I−bonne . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Filtrations approximables par des puissances 1.4.3 Filtration noethérienne . . . . . .