LIM

fonction ln : e ee ' Propri´t´ 1.3 : e e 1. ∀ x ∈]0, +∞[, f (x) > 0. Elle est donc strictement croissante (voir Chapitre 3) 2. ∀ x > 1, ln(x) > 0. 3. ∀ x ∈]0, 1[, ln(x) < 0. & % Exercice 1.2.4 1. D´terminer la limite suivante : e ln(x) . x→1 x − 1 lim Cours d’Analyse – 11 – ´ ´ 1.2. LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN 2. Montrer que pour tout x ∈]0, +∞[, on a l’in´galit´ suivante : e e ln(x) ≤ x − 1. Indication : distinguer les cas x ≥ 1 et x < 1. 3. Donner les domaines de d´finition des fonctions

&#119864; &#119871; (&#119877; + &#119903;) &#119868;0 = &#119864; &#119864; = (200 + 10) × 60. 10−3 &#119864; = 12,6 &#119881; 5) a) &#119894;(&#119905;) = &#119860;(1 − &#119890;− &#119877;+&#119903; &#119871; &#119905;) lim &#119905;→+∞ &#119894;(&#119905;) = lim &#119905;→+∞ &#119860; (1 − &#119890;− &#119877;+&#119903; &#119871; &#119905;) = &#119860; D’où A = &#119868;0 D’après l’équation différentielle 10 &#119889;&#119894; &#119889;&#119905; + (&#119877; + &#119903;) &#119871;

inscrira la limite si on peut la donner ; on mettra ? en cas d’indétermination ou une croix X si la limite n’existe pas) SI lim f(x) = ET SI lim g(x) = ALORS lim f(x) + g(x)= 10 7 -1000 +∞ L (∈IR) -∞ +∞ +∞ +∞ -∞ 17 +∞ ∞ -∞ ∞ +∞ ∞ ? SI lim f(x) = 1 ALORS lim = f(x) SI lim f(x) = ET SI lim g(x) = ALORS lim f(x)g(x) = SI lim f(x) = ET SI lim g(x) = ALORS lim = 5/4 0+ 0- -∞ 0 4/5 2 +∞ ∞ √3 -3/2 +∞ -∞ ∞ 0 -∞ 0 (-) +∞ +∞ ? -∞ -∞ +∞ -∞ √ -∞ ∞

exponentielle en +∞. Théorème 6.7. • Preuve. x→−∞ 1. Déterminer f ′ (x), étudier son signe et dresser le tableau des variations de f . lim ex = 0 x→+∞ • x→+∞ lim ex = +∞ • Montrons que lim ex = 0. x→−∞ • On a vu dans l’activité 6.1 que lim ex = +∞. Posons X = −x. Quand x tend vers −∞ alors X tend vers +∞. Or ex = Donc lim ex = lim x→−∞ 1 1 1 = . e−x e X ♦ X →+∞ eX = 0. 6.4 Quelques autres propriétés 6.4.1 Autres limites faisant intervenir la fonction

Théorème 0.3 (CU et intégrabilité) (fn )n une suite de fonctions fn : [a, b] → R. On suppose : i) fn −→ f CU (converge uniformément) dans [a, b] ii) ∀n ∈ N : fn est intégrable dans [a, b] Alors j) f est intégrable dans [a, b] ∫ b ∫ b ∫ b jj) lim fn (t)dt = lim fn (t)dt = f (t)dt n→+∞ a a n→+∞ a Cas particulier : le théorème reste vrai si on remplace fn intégrable parfn continue dans [a, b] Théorème 0.4 (corollaire) Soit I un intervalle borné, a ∈ I et (fn )n une suite de fonctions de I :→ R. On

significatifs. e a e = lim Question 22 Compl´ter les d´finitions suivantes. Soit f : D → A une fonction et x0 ∈ D, on dit que e e f est continue en x0 si x→x0 n→+∞ 1 1+ n n ∼ 2.7 = f est continue ` gauche a en x0 si lim f (x) = f (x0 ) x→x0 < f est continue ` droite a en x0 si lim f (x) = f (x0 ) x→x0 > lim f (x) = f (x0 ) On dit que f : D → A est continue si Question 23 f est continue pour chaque x0 ∈ D . Si une fonction f a une asymptote oblique, alors lim f (x) = x→±∞

dire que pour n’importe quelle « marge d’erreur » donn´ee ε > 0, a` partir d’un certain num´ero tous les termes de la suite ont une distance < ε de a : D´ efinition 2.2 La suite (an )n∈IIN de nombres r´eels converge vers a ∈ IR, et on ´ecrit a = lim an n→∞ ou n→∞ an −−−−−→ a, si pour tout ε > 0 il existe un n0 ∈ IIN tel que |an − a| < ε pour tout n a = limn→∞ an ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ IIN ∀n (n n0 . En formules n0 =⇒ |a − an | < ε). Le nombre a s’appelle la limite de la suite. Si

tout A > 0 , il existe un rang n0 tel que un > A pour tout n ≥ n0 : c'est-à-dire lim un = +∞ . n →+∞ ROC 3 ♥ Prérequis : définition de la limite finie d'une suite Théorème : Soit (un ) une suite définie par récurrence par un +1 = f (un ) ; si (un ) converge vers L et si f est une fonction continue en L , alors L = f ( L) . n →+∞ Démo : Si (un ) converge vers L alors lim un +1 = L et si f est continue en L alors lim f (un ) = f ( L ) . n →+∞ Par passage à la limite dans les deux membres de

u(2)=1 for k=3:(2*n+2) u(k) = (k-2)/(k-1)*u(k-2) end y=u endfunction 4. (a) Si (un) converge vers 0 alors cos(un)− 1 ∼ n→+∞ −(un)2 2 et ln(1 + un) ∼ n→+∞ un (b) ln(cos(n −1 4 )) = ln(1 + cos(n −1 4 )− 1) Or lim n→+∞ cos(n −1 4 )− 1 = 0 d'où ln(cos(n −1 4 )) ∼ n→+∞ cos(n −1 4 )− 1. De plus lim n→+∞ n

par récurrence que, pour tout entier n, on a 1  un  2 . Exercice 2 lim  5n  2     1.  lim un   1 lim  3  3  n n  n  n   9   9   9  n 2  2  1 n 2  2  1  2  1 1  n  n  n     2. FI " " or vn  2  1  2  1  6  2  1      3n 1    2n 1   6 n 2 1  1   1  1    3n   2n   3n  2n   3n  2n  1 2  1   9    Or lim  2  1  1 et lim 1    1 et nlim 1    1 donc nlim vn    n  n n   6 