LIM

que les finie en un point réel. valeurs de x soient • On admettra que suffisamment proches de a en lorsqu'une fonction restant différentes de a. admet une limite, 2) Notation cette limite est unique. Notations : On illustrera graphiquement lim f ( x ) et lim f xa a a les notions introduites. • Connaître et utiliser les théorèmes sur les limites pour : • On étendra la notion de - Calculer une limite aux cas ci dessous limite, une limite à : droite et une limite - Limite finie à l'infini à

−0, 2p n + 0, 66 − 0, 55 = − 0, 2(un + 0, 55) + 0, 11 = −0, 2un , égalité qui montre que la suite (un ) est une suite géométrique de raison −0, 2. e. Comme la raison de la suite (un ) est −1 < −0, 2 < 1, on sait que lim un = 0 et par conséquent n→+∞ n→+∞ lim p n − 0, 55 = 0 ⇐⇒ lim p n = 0, 55. n→+∞ Exercice 4 Partie A 1. On sait que F ′ (x) = f (x) 2. Sur [2 ; +∞[, f (x) 0 ⇐⇒ f est croissante sur R. 3 x 6 points 4e−2 , d’où f (t ) dt 2 2 4e−2 dt ⇐⇒ F (3) 4e−2 . D’autre

prix- L’élasticité prix de la demande (eii) Elle mesure la variation( en pourcentage) de la quantité demandée d’un bien i résultant d’une variation de 1 % du prix de ce bien. Variation relative e ii = Variation relative ∆ Qi/Qi = Lim ∆ Pi/Pi ∆P → 0 ∆ Qi Pi ∂ Qi = Lim = ∆ Pi Qi ∂ Pi ∆P → 0 Qi (en %) Pi (en %) Pi pi = Qi ' Pi Qi Qi Variation des prix- L’élasticité prix de la demande (eii) Demande inélastique : eii est inférieure à 1 en valeur absolue. La quantité demandée est relativement peu

d'une fonction continue, en particulier : (i) La propriété de linéarité. (ii) ab x(t)dt ≤ ab |x(t)|dt, si a ≤ b. (iii) b a x(t)dt ≤ (b − a)||x||∞ , si a ≤ b. Pour tout x ∈ B, on appelle moyenne de x, s'il existe le nombre complexe : M (x) = lim MT (x) avec MT (x) = T →+∞ Partie I :Fonctions moyennables. 1 T T x(t)dt. 0 On dira, dans ce cas que la fonction x est moyennable. Et on notera M1 l'ensemble des fonctions moyennables appartenant à B. 1 1. Soient x, y deux éléments

Exprimer S =u +u +...+u en fonction de n seulement. Vérifier que S 10 ≈ 215 ,60 . Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le nombre entier n à partir duquel je pourrai réaliser l’achat avec mon épargne. 0 n 0 1 n 0 ème c) Conjecturer lim f ( x ) et lim f ( x ) en complétant : x→ − ∞ x→ + ∞ x f (x) −∞ … -1000 ... -100 -10 x f (x) 10 100 1000 … … +∞ 1,5 1 1 0,5 1 1 1,5 d) Dresser le tableau de signes de f ' ( x) et de variations de f . e) Quelle

converge simplement vers une fonction f en croissant {i.e pour tout x E X, tout nE N, . f n (x) ::; fn+ 1(x)). Alors f est mesurable et pour tout A E A, lim n-+oc j. fnd.u = { A lim fndJ.L lA n-++oo = jA j du, temm~ "4.2 (L~"mme Fatou) de Soit (fn (X, A, J.L) -t [0, +OOJ))nEN une suite de fonctions alors lim inf fn dJl ::; lim inf fnd.u lx n-++oo n-++oolx .~~-~ mesurables positives. On a r r ..~ __ '~~:~.,..~~"" ;;,---- --:":;:""'=d:':'iilii';Jâ.,-~"";.··_

= 100, BD = 10, donc le rayon du cercle est égal à 5. 4 A 3 2 1 → − v −3 −2 −1 −1 −2 B −3 −4 −5 P ROBLÈME Partie A ex 1. On a lim ex ln x = +∞ et lim = +∞, d’où par somme de limites lim f (x) = x→+∞ x→+∞ x x→+∞ +∞. ex 1 = 2. a. On a f (x) = ex ln x + (x ln x + 1). On a lim x ln x = 0, donc lim x ln x+ x→0 x→0 x x ex 1 = 1 et lim = +∞, d’où par produit de limites, lim f (x) = +∞. x→0 x x→0 b. Le résultat précédent montre que l’axe des ordonnées Dd’équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe

Variation de la suite géométrique et limite 1er Cas q ∈ ]0,1[ et v0 〉 0 alors la suite ( vn ) est strictement décroissante et lim vn = 0 2ème Cas q ∈ ]0,1[ et v0 〈 0 alors la suite ( vn ) est strictement et lim vn = 0 3ème Cas q〉1et v0 〉 0 alors la suite ( vn ) est strictement croissante et lim vn = +∞ 4ème Cas q〉1et v0 〈 0 alors la suite ( vn ) est strictement décroissante et lim vn = −∞ Somme d’une suite géométrique Somme de terme consécutif 1 − q n+1  v0 + v1 + v2 + ....vn = v0    1− q  q

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x )=x ex−1 et C f sa courbe représentative. 1) Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. Par croissances comparées, lim x→−∞ xe x=0 donc, par somme, lim x→−∞ f ( x)=−1 . On a lim x→+∞ ex=+∞ donc, par produit et par somme, lim x→+∞ f ( x)=+∞ . 2) Dresser le tableau de variations de f sur ℝ . La fonction f est dérivable sur ℝ comme produit et somme de fonctions dérivables sur ℝ . Pour tout

sinh cosh ′ (x) = sinh ′ (x)cosh(x) − sinh(x)cosh ′ (x) cosh2 x − sinh2 x 1 = = > 0. 2 2 cosh (x) cosh x cosh2 x Donc, tanh est dérivable et strictement croissante sur R. Par suite, tanh établit une bijection de R sur tanh(R). Or, tanh(R) =] lim tanh(x), lim tanh(x)[=] − 1, 1[= I. x→ −∞ x→ +∞ Donc tanh établit une bijection de R sur I =] − 1, 1[. 2.- Soit x ∈ R. tanh ′ (x) = cosh2 x − sinh2 x = 1 − tanh2 x. cosh2 x Donc, ∀x ∈ R, tanh ′ (x) = 1 − tanh2 x. 3.- Tout d’abord, si x ∈] − 1, 1[, alors