LIM

note lim f (x) = ℓ. x→+∞ Remarque : on peut définir de même lim f (x). x→−∞ Exemple : Soit f la fonction définie sur [1 ; +∞[ par f (x) = 1 . Démontrer que lim f (x) = 1. x→+∞ x Soit a ∈ R. 1+ f (x) ∈]1 − a ; 1 + a[ ⇔ 1 − a < 1 + ⇔ −a < ⇔x> Ainsi pour x > lim f (x) = 1. 1 a 1 M ⇔ x2 > M − 3 √ ⇔ x > M − 3 pour M > 3. √ Ainsi pour x > M − 3, f (x) > M donc lim f (x) = 0 x→+∞ +∞. Limites usuelles Propriété lim x = +∞ ; x→+∞ lim x = −∞ ; lim x2 =

DERIVABILITE EN UN POINT f(x)-f(x ) On dit que f est dérivable en x0 o il existe un réel £ tel que : Lim—— — = £ X-»Xn V V X-X,, i est appelé le nombre dérivé de f en x 0 et on note / '(xq) = £ f(x)-f(x ) On dit que f est dérivable à droite en x0 il existe un réel £ tel que : Lim - • .....V°j- = i *->(x0-)+ X - Xn i est appelé le nombre

la notation exp(x) = ex 6. La fonction f(x) = e = exp(x) Etude des limites : de - ¥ . x® + ¥ x lim e x = + ¥ ; lim ex = 0 ; asymptote d'équation y=0 (=axe des abscisses) au voisinage x® - ¥ ex -1 = 1 donc pour x voisin de 0 on a : ex @ 1 + x , on a alors pour n assez grand e x®0 x lim et aussi Tableau de variation 1 @ æ 1+ ö ç ÷ è nø n e = + ¥ ; lim xe x = 0 ; x® + ¥ x x® - ¥ lim Allure de la courbe x 7. Fonction composée : Exemples : Etudier f (x) = ex² + 3x ; g(x) =

l'intervalle d'étude en deux 2 2 p p [. L'étude sur ]- ; 0] s'en déduira par symétrie par rapport à l'origine du 2 2 lim sin x = 0 et lim + cos x = 1 x® 0 x® 0 + et ne l'étudier que sur [0 ; repère. 3. On sait que : Donc, par quotient : On sait que : Donc, par quotient : x® 0 + lim tan x = 0 lim - cos x = 0 avec cos x > 0 x® p 2 p 2 lim - sin x = 1 et x® p 2 lim - tan x = +¥ x® La courbe C admet donc une asymptote verticale D d'équation x = 4. D'après les valeurs remarquables

fonction g est définie sur R par : 2 G(x) = e3x+1 . 3 Baccalauréat STI2D Lycée Don Bosco c. Soit la fonction h définie sur R∗ par : h(x) = ex+1 + 1 . x2 Déterminer les limites suivantes : i. ii. iii. lim h(x) = 0 x → −∞ lim h(x) = +∞ x → +∞ lim h(x) = +∞ x→0 Exercice 3 4 points 1. Résoudre l’équation 2X 2 − X − 1 = 0. On calcul de discriminant ∆ = b 2 − 4ac = (−1)2 − 4 × 2 × (−1) = 9. Les solutions de cette équation sont alors données par : x1 = −b

une production de x tonnes x de produit. Corrigé LIBAN JUIN 2009 Partie A On considère la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = 10+(x−3)e x 1. a. Déterminer la limite de f en +∞. lim (x−3) = +õ et lim e x = +õ donc par produit, lim (x−3)e x = +õ x↔+õ x↔+õ x↔+õ La somme donne alors lim f(x) =+õ x↔+õ b. Démontrer que f'(x) =(x−2)e x et étudier le signe de f '(x) sur l’intervalle [0 ; +∞[. Calcul de la dérivée : On utilise notamment la dérivée d'un produit (uv)' = u'v+uv' avec

arithmétique de raison Par conséquent v = n 4´ 4 + 3n 4 + 3n -1 -1 1 + 3n 4 + 12n . 12 = 12 ´ 3 = 4´ = 4 + 3n 4 + 3n 4 + 3n 4 + 3n 12 4 + 12 4 + 12n 4 n lim = lim 3. or lim = 0 d'après les limites connues de la fonction inverse! n ®+¥ 4 + 3n n®+¥ 4 n ®+¥ n +3 n 4 + 12 12 n = =4 Donc lim vn = lim n ®+¥ n ®+¥ 4 3 +3 n Exercice n°3 Partie A (voir cours) Partie B x 1. g définie et dérivable sur ¡ comme somme des fonctions x a 1 - x (affine) et x a e (fonction

5i' + 5 i=3 est équivalent à i'+10i=6 ou encore i'=-10i+6 qui a la même solution que (A) C'est à dire f : t → 2. 3 1 − e −10t 5 3 1 − e −10t . 5 ( ) ( ) 5 5 x ∞ 3 −10t 3 3 Déterminer tlim i( t) . Comme i t =− e  , on a alors lim i t = →+∞ 5 EXERCICE II 1 3 1) u1 = , u2 = et u3 = . 2 3 2 4 2) Démonstration par récurrence : Initialisation : la propriété est vraie pour n=0 : u0=0. Hypothèse de récurrence : on suppose que la propriété est vérifiée pour un entier k : uk

= u0 − 6 = −5 et donc pour tout entier naturel n on a un = vn + 6 = −5 1 3 n 1 3 n . + 6. 1 3 n Pour tout entier naturel n, un = −5 n + 6. c) Puisque −1 < 1 < 1, on sait que 3 n→ +∞ lim 1 3 = 0. On en déduit que la suite (un ) converge et que lim un = 6. 210 = 21. 10 n→ +∞ 2) a) 10w10 = 11w9 + 1 = 11 × 19 + 1 = 210 et donc w10 = w10 = 21. b) Il semblerait que pour tout entier naturel n, on ait wn = 2n + 1. Prouvons-le par récurrence. • Pour n = 0, on

arithm´etico-g´eom´etrique. 1 2 1 On r´esout alors x = x + ⇔ x = 2 3 3 2 1 1 1 2 On pose qn = pn − . qn est une suite g´eom´etrique de raison c’est-`a-dire qn = n q0 = n p0 − . 3 2 2 2 3 2 2 1 + . On a donc pn = n p0 − 2 3 3 2 1 3. On a lim n = 0 donc lim pn = . n→+∞ n→+∞ 2 3 Exercice 9: 1. • Le calcul direct de P (An ) est assez compliqu´e et on se rend compte qu’il est plus facile de calculer P (An ) car An est l’´ev´enement ≪ on obtient des boules d’une seule couleur ≫. 1 1 1 On