LIM

14 ans. Exercice 2 : 1. f(1) = 0 et f(2) = – 1 2. f ’(1) = – 2 et f ’(2) = 1 3. y = – 2x + 2 4. S = { –0,4 ; 1 ; 2,4 } approximativement. 5. S = {0,2 ; 1,8} approximativement Exercice 3 : f(3 + h) – f(3) 2×(3 + h)² – 2×3² 2h² + 12h 1. lim = lim = lim = lim (2h + 12) = 12 h h h h→0 h→0 h→0 h→0 Donc f ’(3) = 12. 2. D’autre part f(3) = 2×3² = 18 Donc y = f ’(3)(x – 3) + f(3) devient : y = 12(x – 3) + 18 Soit y = 12x – 18 

ind´pendant de x ∈ [0, 1] et est le terme g´n´ral d’une suite de limite nulle. e e e (fn ) est donc uniform´ment convergente sur [0, 1] e Par th´or`me de continuit´ des sommes de s´ries de fonctions, e e e e L ∈ C 0 ([0, 1]) En particulier, L(1) = lim L(x) = lim ln(1 + x) = ln(2) x→1− x→1− 1.2 Etude de la s´rie e 1 k cos 2kπ 3 k≥1 . 2.1 On d´coupe la somme en trois parties selon la congruence modulo 3 de l’indice puis on s’arrange e 1 pour retrouver tous les k : 3p p p−1 p−1

et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε. Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie. Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞ Dans le cas contraire, on dit que la suite (un ) est divergente. On dit que (un ) admet pour limite +∞ (resp. −∞) si et seulement si ∀A > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ un ≥ A (resp. un ≤ −A). Attention ! Dans le cas où (un ) admet pour limite

alors on a : lim n → +∞ 1 n−1 ∑aj = ℓ . n j =0 On se propose d’étudier la suite ( un )n∈ℕ , définie par la donnée de u0 = 0 et par la relation, valable pour tout entier naturel n : un +1 = un 2 + 1 . 2 1) a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : 0 ≤ un < 1 . b) Étudier les variations de la suite ( un ). c) Déduire des questions précédentes que la suite (un) converge et donner sa limite. 2) Pour tout entier naturel n, on pose : vn = 1 − un . 1 1 1 a) Montrer que lim ( − )= . n →+∞

dérivée d’une fonction rationnelle - le sens de variation d’une fonction polynôme - le sens de variation d’une fonction rationnelle Interpréter -graphiquement chacune des limites suivantes : lim xa f(x) = +, lim xa f(x) = - lim x+ f(x) = b, lim x- f(x) = b lim x+ f(x) – (ax + b) = 0, lim x- f(x) – (ax + b) = 0 -graphiquement le signe de f(x) – (ax+b) Démontrer - qu’une droite dont une équation est donnée est asymptote à la courbe représentative d’une fonction rationnelle

limites Soit f et g deux fonctions. On pose lim f (x) = l et lim g(x) = l . x→a x→a Le tableau ci-dessous donne la limite de la somme lim f (x) + g(x). x→a f +g l∈R l = +∞ l = −∞ l ∈R l+l +∞ −∞ l = +∞ +∞ +∞ F.I. l = −∞ −∞ F.I. −∞ Le tableau ci-dessous donne la limite du produit lim f (x)g(x). x→a fg l ∈ R∗ l=0 l = ±∞ l ∈ R∗ ll 0 ±∞ l=0 0 0 F.I. l = ±∞ ±∞ F.I. ±∞ 1 . f (x) Le tableau ci-dessous donne la limite de l’inverse lim x→a l ∈ R∗ Limite de 1 f 1 l

(n + 1)!⎤ (2n )! = = (2(n + 1))! (n !) 2 ⎢ n ! ⎥ (2n + 2)! un ⎣ ⎦ u n +1 1 n +1 1 = lim (n + 1)2 = lim = < 1, (2n + 2)(2n + 1) n →+∞ 4n + 2 4 n →+∞ u n n →+∞ la série est donc convergente . lim 2 2 2 n u ((n + 1)!) 2 2n ⎡ (n + 1)!⎤ 2 =⎢ c / Critère de D ' Alembert : n +1 = 2 2 2 ⎣ n! ⎥ un ⎦ 2( n +1) 2( n +1) (n !) lim (n + 1)2 n →+∞ 1 22n +1 = lim (n + 1)2 n →+∞ e (2 n +1) ln 2 = 0 < 1, la série est donc convergente . d / La série

de même signe à partir d’un certain rang. 1 1 2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : un = sh − tan . n n Corrigé exercice 1 1. Puisque un ∼ vn , on peut écrire, au voisinage de +∞, un = vn + o(vn ). +∞ o(vn ) = εn vn avec lim εn = 0. n→+∞ lim εn = 0 donc il existe entier N tel que : ∀ n ∈ N, n n→+∞ N ⇒ |εn | 1 . 2 1 1 |vn | c’est à dire ∀ n N , − |vn | 2 2 1 1 |vn | + vn . (*) On en déduit que ∀ n N , − |vn | + vn un 2 2 Soit n ∈ N tel que n N . Premier cas : Si vn 0 1 Alors

plus, lim Ôvn ¡ un Õ 0 donc ℓ½ ¡ ℓ 0 et ℓ½ ℓ n Exercice 2 - Commun ` tous les candidats a 1. Restitution organis´e de connaissances. e Soit Ôun Õ et Ôvn Õ deux suites respectivement croissante et d´croissante telles que lim Ôvn ¡ un Õ e n   0 On peut donc conclure : Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et ont la mˆme limite e   2. a) 10¡n d’o` : u ¢ 1 10 ªn est de la forme q n avec ¡1   q 1 donc lim 10¡n n   0 n lim un

strictement d´croissante et born´e. e e On dit qu’une suite (un ) diverge si elle ne converge pas, c’est-`-dire si elle n’admet pas de a limite dans R. On note suivant les cas n→+∞ lim un = ou n→+∞ lim un = +∞. Remarques. 1. En particulier une suite qui tend vers +∞ diverge. 2. On d´finit de mˆme lim un = −∞. e e n→+∞ ´ ´ 3.2. PROPRIETES DE LA LIMITE Exemples. 23 1. La suite constante un = a pour a ∈ R fix´ converge vers a. Choisissons un ε > 0. Il faut e trouver un entier