LIM

vn+1 = an+1 − 1 2 1 1 1 2 = − an + 1 − = − an + = − 3 2 3 2 3 2 an − 2 3 1 = − vn . 2 1 La suite (vn ) est une suite géométrique de raison − . 2 4) Puisque − 1 < 1, on sait que 2 lim vn = 0. Par suite, n→ +∞ lim an = lim n→ +∞ lim an = n→ +∞ http ://www.maths-france.fr 1 n→ +∞ 2 + vn 3 = 2 . 3 2 . 3 c Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés. 

la distance moyenne cherchée) lim [pic]= –[pic] et lim ex = 0 d’où lim[pic]= 0 (th. de limite de fonctions composées) A[pic]+[pic] x[pic]–[pic] A[pic]+[pic] Par ailleurs, on a : [pic]= 82[pic] et [pic] est de la forme [pic]. Or lim [pic]= +[pic] et lim[pic]= 0 (th. de croissance comparée) d’où lim[pic]= 0 A[pic]+[pic] x[pic]+[pic] A[pic]+[pic] On en déduit que lim I(A) = 82 (théorème de limites

fn(P )(1) = a+ b 2 (1− 1 2n ) + ( 1 3 − 1 2n+1 + 1 6 · 4n ) c+ b 2n + c 2n (1− 1 2n ) + c 4n donc φ(fn(P )) −→ n→+∞ a+ b 2 + c 3 . D’autre part, on a ∫ 1 0 P (t)dt = ∫ 1 0 a+ bt+ ct2dt = [ at+ b 2 t 2 + c 3 t 3 ]1 0 = a+ b 2 + c 3 . On obtient ainsi lim n→+∞ φ(fn(P )) = ∫ 1 0 P (t)dt. 3. a) Soit P ∈ R2[X] fixé. On montre par récurrence sur n ∈ N que fn(P ) = 1 2n 2n−1∑ k=0 P ( X+k 2n ) . ⋄ Pour n = 0, on a 1 20 20−1∑ k=0 P ( X + k 20 ) = P (X + 0) = P = Id(P ) = f0(P ). ⋄ On suppose que pour un certain

caract´risation de la borne inf´rieure, ∀ε > 0, ∃ y ∈ H, d(x0 , H) e e x0 − y < d(x0 , H) + ε. On 1 applique ceci ` ε = n + 1 pour n ∈ N et on note yn un des y ∈ H v´rifiant l’in´galit´. On a donc a e e e ∀n ∈ N, yn ∈ H et d(x0 , H) x0 − yn < d(x0 , H) + lim 1 n+1 donc il existe une suite (yn )n∈N telle que ∀n ∈ N, yn ∈ H et b) n→+∞ x0 − yn = d(x0 , H) . On a ∀n ∈ N, yn = yn − x0 + x0 yn − x0 + x0 et la suite x0 − yn n∈N est born´e e puisqu’elle converge donc la suite yn n∈N est aussi born´e

On a donc h 0 lim → t(h) = m et, pour tout x  , f est dérivable en a et f '(a) = m 3) a) Le taux de variation de la fonction f en a est égal à: t(h) = ( ) ( )f a h f a h + − f(a + h) = ( ) 2 2 2a h a 2ah h+ = + + f(a) = 2a t(h) = ( )2 2 2 2 h 2a ha 2ah h a 2ah h 2a h h h h ++ + − + = = = + (pour h  0) b) Quand h est très proche de 0, 2a + h est très proche de 2a + 0 = 2a On a donc h 0 lim → t(h) = 2a et, pour tout x  , f est dérivable en a

sous la forme : e g(t) = De plus, on a pour t > 0 : sin t t . t 1 − cos(t) sin t sin t > 0 et lim = 1; t→0+ t t t t > 0 et lim = 0. t→0+ 1 − cos(t) 1 − cos(t) D’o` lim g(t) = +∞. u t→0+ Par composition des limites, il en r´sulte que : e t→0+ lim f (t) = π . 2 limite en π par valeurs inf´rieures. e La fonction f est d´finie et d´rivable en π (donc continue en π). D’o` : e e u t→π− lim = f (π) = 0. 4. La fonction f est d´rivable sur ]0, π] et pour t ∈]0, π], e f (t) = = = =

Donc (vn) est décroissante et lim vn = - ∞ n→+ ∞ A la « main » : vn+1 – vn = -3×2n+1 + 3×2n = 3×2n (-3 + 1) = -6×2n < 0 Donc la suite (vn) et décroissante. Comme 2 > 1, alors lim 2n = + ∞ et par suite, lim vn = - ∞ n→+ ∞ n→+ ∞ n -2n+1 -2n -2n -2  5-2 3) vn+1 – vn = 3×  + 5 - 3×  – 5 = 3×  × - 1 = -3×   < 0 3 3  3 3 3 3  Donc la suite (vn) est décroissante. -2n 2 lim   = 0 car -1 < - < 1 n→+ ∞  3  3 Donc lim vn = 5 n→+ ∞ 5 5 et

t.q. b < a < c et D ⊃]b, a[∪]a, c[. Alors, l est la limite en a de f si et seulement si f transforme toute suite convergente vers a (et prenant ses valeurs dans D \ {a}) en suite convergente vers l, c’est-`-dire : a (xn )n∈N ⊂ D \ {a}, lim xn = a ⇒ n→+∞ n→+∞ lim f (xn ) = l. ´ Demonstration : On suppose tout d’abord que l = limx→a f (x) et on va montrer que f transforme toute suite convergente vers a (et prenant ses valeurs dans D \ {a}) en suite convergente vers l. Soit (xn )n∈N ⊂ D \ {a}

+∞ de l’expression précédente, f étant continue sur [0, π]. c) Le lemme de Lebesgue. Il s’agit de montrer que pour toute fonction f continue par morceaux sur un segment [a, b] b b b à valeurs dans R ou C, lim λ→ +∞ a f(t)eiλt dt = 0 et donc aussi lim λ→ +∞ f(t) cos(λt) dt = lim a λ→ +∞ a f(t) sin(λt) dt = 0. i) Cas des fonctions de classe C1 . Soit f une fonction de classe C1 sur un segment [a, b] à valeurs dans R ou C. Une intégration par parties, licite puisque f est de

d´riv´ en x0 et not´e f ½ Ôx0 Õ. e e e e f Ôx0   hÕ ¡ f Ôx0 Õ )) si l’existence de cette limite n’a pas encore ´t´ ee h Remarque : Il ne faut pas ´crire (( lim e h 0 justifi´e. e 2. Meilleure approximation affine Th´or`me 1 e e f ½ Ôx0 Õ. f est d´rivable en x0 si et seulement si il existe un r´el l tel que f Ôx0   hÕ e e lim ǫ 0. 0 f Ôx0 Õ   lh   hǫÔhÕ avec Alors l Remarque : on parle d’approximation affine car on remplace la fonction h f Ôx0   hÕ par la fonction affine h f Ôx0