LIM

séquence 1. Important > > Exercice 2n – 2 ------------n → + ∞ 3n + 1 lim (2 points) Calculer les limites suivantes : lim 2 2n – 3 n lim 2 sin n -------------3n n→+∞ n→+∞ Exercice (4 points) x2 + x + 1 . Soit f la fonction définie par : f ( x ) = f ( x ) et Déterminer l’ensemble de définition de f. Déterminer Déterminer x→+∞ lim x→–∞ lim f(x) . x→+∞ lim 1 1 f ( x ) – ⎛ x + --⎞ et lim f ( x ) – ⎛ – x – --⎞ (on pourra penser à l’expression conjuguée). ⎝ ⎝

par un = √ n+ 1− √ n− 1 vn = 1 n− 1 − 1 n+ 1 wn = n1/n − 1 sn = n sin 1 n2 tn = ln(n+ 1)− lnn. Exercice 10 Utiliser des équivalents pour calculer l es l imites suivantes (x ∈ R) : a) lim n→+∞ 1 + x n b) lim n→+∞ n− 1 n+ 1 c) lim n→+∞ n n− x ( )n ( )n ( )n d) lim n→+∞ (n2 + 5n− 4 n2 − 3n+ 7 )n e) lim n→+∞ (2n2 − 3n+ 2) sin ( 1 n2 + 3n ) Correction Correction Correction Correction Correction Correction Correction Correctionhttps://www.youtube.com/watch?v=rHIAciQXgdQ&list=PLPitOfGw3YFdy1tdj-fd_qX1TJ5_f0Fde&index=10https://www

définie sur IR par f (x) = 3 - x 𝑒 1−𝑥 On note C sa représentation graphique dans un repère orthonormé 1)a)Calculer 𝑥→−∞ lim 𝑓(𝑥) f (x) = 3 - et 𝑒 𝑥 𝑥 b)Vérifier que 𝑒 𝑥→−∞ lim 𝑓(𝑥) 𝑥 et interpréter graphiquement le résultat obtenu 𝑥→+∞ et déduire lim 𝑓(𝑥) . interpréter le résultat obtenu 2)a)Montrer que f ’(x) = (x-1) 𝑒 1−𝑥 b)Tracer C et dresser le tableau de variation

de R(x) Q(x) . I= x−1 x3 +4x Dans cet exemple on passe diréctement a la deuxième étape : f (x) = Calcule de x−1 x−1 a bx + c = = + 2 3 + 4x 2 + 4) x x(x x x +4 a x→0 a, b, et c : xf (x) = = a + x(bx+c) et on donne x2 +4 lim xf (x) = 0 = a + b et donc b = 1 . 4 x−1 x2 +4 Et puis x la valeur 0 donc a= −1 4 . f (1) = 0 = a + b+c 5 ⇒c=1 . donc I= −1 dx+ 4x I= −1 4 x+4 −1 1 = ln(|x|)+ 2 + 4) 4(x 4 8 x2 2x 1 dx+ +4 4 ( x

+∞[, −e−x ≤ f (x) ≤ e−x . On sait que, pour tout x ∈ [0 ; +∞[, −1 ≤ cos(4x) ≤ 1. Donc −e−x ≤ e−x cos(4x) ≤ e−x car e−x > 0. Ainsi −e−x ≤ f (x) ≤ e−x . b. En déduire la limite de f en +∞. lim −x = −∞ x→+∞ ⇒ ⎫ lim e−x = lim eX = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ X→−∞ ⎪ ⎪ ⎪ théorème ⇒ lim f (x) = 0. ⎬ ⇓ des gendarmes x→+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ lim −e−x = −0 = 0 ⎪ ⎭ x→+∞ x→+∞ 2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes Γ et C . Soit x ≥ 0 : M (x; y) ∈ Γ ∩ C ⇐⇒ y = f (x) = g(x) e−x ≠0 Or f (x) = g(x) ⇐⇒ e−x cos(4x)

géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison q = 3) On en déduit que pour tout entier naturel n, un = u0 × qn = 2 √ 2 Pour tout entier naturel n, un = 2 4) Puisque √ 2 > 1, on sait que √ 2 lim n→+∞ √ 2. n . √ 2 n . n = +∞. Puisque 2 > 0, on a alors lim un = lim 2 n→+∞ n→+∞ √ 2 n = +∞. lim un = +∞. n→+∞ 5) Algorithme complété. Variables : u est un réel p est un réel n est un entier Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur 2 Demander la valeur de p Traitement

x • • Df = ¡ + * lim ln x = − ∞ d’où la droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe C . x → 0+ x→ + ∞ lim ln x = + ∞ 1 f ' ( x ) > 0 sur ¡ + * x Donc f est strictement croissante sur ¡ + * . Df ' = ¡ + * f '( x ) = • • 3 x f '( x ) f ( x) 0 + +∞ +∞ −∞ x lnx 0,5 − 0, 69 1 0 2 0,69 e 1 3 1,09 r j r i • • 5 ) Autres Limites particulières ln x ln x lim = 0 et plus généralement : lim n = 0 , n ∈ ¥* . x→ + ∞ x→ + ∞ x x lim+ x ln x = 0 et plus

dt t ln a correspond donc à l’aire du domaine hachuré ci-dessous. La fonction logarithme népérien Page 4/7 C. LIMITES USUELLES ET REMARQUABLES. lim ln x = −∞ x →0 x >0 x →+∞ lim ln x = +∞ lim x n ⋅ ln x = 0 x →0 x >0 lim x →0 x >0 ln x = −∞ xn lim x n ⋅ ln x = +∞ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ Limites remarquables ln x ⎪ lim =0 x →+∞ xn ⎪ ⎭ x →+∞ D. VARIATION. 1 ∀x ∈ ]0, +∞[ : ( ln x )′ = x x (ln x)' 0 +∝ + +∝ ln x -∝ E. EGALITE OU INEGALITE. Pour tout a,

: (un) soit croissante, (vn) décroissante et lim n-> +1 (un - vn) = 0 1. Montrons que pour tout n, un 6 vn On pose wn = vn - un. Étudions le sens de variation de (wn) wn+1 - wn = (vn+1 - un+1) - (vn - un) = (vn+1 - vn) - (un+1 - un) Or, la suite (un) est croissante, donc (un+1 - un) > 0 Et la suite (vn) est décroissante, donc (vn+1 - vn) 6 0 On en déduit que : (wn+1 - wn) 6 0, la suite est donc décroissante. De plus on sait que : lim vn - un = 0 la suite (wn) est donc positive et

tion polynˆme Pn et une fonction tels que : o   deg(Pn ) ≤ n lim (x) = 0  x→a ∀x ∈ I, f (x) = Pn (x − a) + (x − a)n (x) On appelle partie principale ou partie r´guli`re du e e DLn (a) de f la fonction polynˆme x → Pn (x − a). On apo pelle le terme de reste la fonction x → (x − a)n (x). ∀x ∈ I, f (x) = k=0 f (k) (x − a) (x − a)k + (x − a)n (x − a) k! ou encore ∀x ∈ I, (a) f (x) = f (a)+ f 1! (x−a)+ f n +(x − a) (x − a) Avec lim (x − a) = 0. x→a (a) f (n) (a) 2 n 2! (x−a) +· · ·+ n! (x−a)