LIM

Licence sciences économiques 3ème année-Magistère économie et gestion Mathématiques 5 Cours Mme Hayek Corrigé T.D. n̊ 4-5-6 Exercice 1 a) f est continue en (0, 0) ssi lim (x1,x2)→(0,0) f(x1, x2) = f(0, 0). Le long de la droite x2 = x1, f(x1, x1) = 1/2. (ou bien le long de la droite x2 = 0, f(x1, 0) = 2). Donc on ne peut pas avoir lim (x1,x2)→(0,0) f(x1, x2) = 0 = f(0, 0). b) Si f est différentiable en (0, 0) alors f est continue en (0, 0). Ici f n’est pas continue en (0, 0) donc f n’est pas différentiable

entier naturel n, un vn 3n vn = ⇔ (1 − un )v n = un ⇔ v n = un + un v n ⇔ un = ⇔ un = n . 1 − un 1 + vn 3 +1 d. Comme 3 > 1, lim 3n = +∞. L’étude du quotient conduit donc à une forme indéterminée. n→+∞ 3n = un = n 3 +1 1 1 = 1 1 n 1+ n 1+ 3 3 1 n 1 Comme −1 < < 1, lim =0 n→+∞ 3 3 n 1 Par somme lim 1 + = 1, enfin, par quotient lim un = 1 n→+∞ n→+∞ 3 La suite (un ) converge vers 1. 

Nouisser ENCG- Kénitra, 2014 Définition Soient l ∈ R, (a, b) ∈ R2 et f : R2 → R une fonction à deux variables définie sur un voisinage de (a, b) sauf peut être en (a, b). On dit que f admet une limite l quand (x, y ) tend vers (a, b), et on note lim (x,y )→(a,b) f (x, y ) = l si lorsque (x, y ) s’approche de (a, b), f (x, y ) s’approche de l . Remarque 1 (a, b) n’est pas nécessairement dans Df 2 Contrairement au cas d’une fonction à une variable (où il y a limite à droite et limite à gauche)

pour n∈ Montrer que : ( )n n U ∈ est convergente et calculer sa limite 2°- Calculer les limites suivantes : 0 ². ( )lim 1 os( )x x Cos x C x→ − ( )lim tan 1 ² 1 x Arc x x →+∞ + − + EXERCICE ② Soit l’équation différentielle ( )1 ; 2x. ' 3 ² ² 0E y y x y+ + = 1°- a)- En posant 1Z y−= , montrer que: ( ) ( )1 2 ;

1 0 n→+∞ 1 lim fn (x) dx = n→+∞ 0 lim fn (x) dx. Vérifier que la convergence de ( fn )n∈N vers f n’est pas uniforme sur ]0, 1]. Correction [005922] 5 Applications Exercice 7 Montrer que, si f : [a, b] → R est une fonction intégrable au sens de Riemann, on a : 1 b−a En déduire les limites suivantes : a) Correction b a f (t) dt = lim 1 n b−a ∑ f a+k n . n→+∞ n k=1 1 n 1 n k lim ∑ tan n→+∞ n n k=1 b) n lim ∑ 2 n→+∞ n + k2 k=1 n c) n lim ∑ log n→+∞ n+k

différentiel 1 x 4.3 Les dérivées et la forme des graphiques © Groupe Modulo inc., 2013 Solutionnaire détaillé Chapitre 4 Les dérivées et leurs applications 27. f ′(x) > 0 si |x|  2  f est croissante sur ]–2, 2[. f ′(x) < 0 si |x|  2  lim|f ( x)|    f est décroissante sur ]–∞, –2[ et ]2, ∞[. f (2)  0  f est concave vers le haut sur ]–∞, 2[ et ]2, ∞[. y y 0 Ϫ2 f a une tangente horizontale en x = –2. il y a une asymptote verticale ou une tangente verticale (point de rebroussement)

n x xα n limite 0. Donc fn (x) et x ont la mˆme limite ; plus pr´cis´ment : e e e - Si n est pair, lim fn (x) = lim fn (x) = +∞ x→+∞ x→−∞ - Si n est impair, lim fn (x) = +∞ et lim fn (x) = −∞. x→+∞ x→−∞ Quand x tend vers 1 la partie polynˆmiale de fn a une limite finie car les fonctions polynˆmes o o sont continues ; la fonction x → ln |x − 1| a pour limite −∞, donc lim fn (x) = −∞. x→1 a. Branches infinies : Quand x tend vers +∞ ou −∞ on peut ´crire e n fn (x) 1 x 1

dérivées des fonctions sinus et cosinus, on a: sin x = 1 et x →0 x lim cos x − 1 =0 x →0 x lim ROC Démonstration : On revient à la définition du nombre dérivée en 0. sin′ 0 = lim sin h − sin 0 sin h = lim x →0 h h →0 h sin h =1 h →0 h or on sait que : sin′ 0 = cos 0 = 1 donc lim de même, on a : cos′ 0 = lim cos h − 1 cos h − cos 0 = lim h h h →0 h →0 cos h − 1 =0 h h →0 or on sait que : cos′ 0 = − sin 0 = 0 donc lim 3.3 Variation Comme les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodiques

Soient x0 ∈ IR et f une fonction dont le domaine de d´finition est Df . On suppose qu’il existe e α > 0 tel que ]x0 − α,x0 + α[−{x0 } ⊂ Df . 8.1.1 D´finitions e x→x0 • On dit que f (x) tend vers le nombre l quand x tend vers x0 et on ´crit l = lim f (x) si e ∀ε > 0 ∃η > 0(η < α) tel que si |x − x0 | < η alors |f (x) − l| < ε. • On dit que f (x) tend vers +∞ quand x tend vers x0 si ∀A > 0 ∃η > 0 tel que si |x − x0 | < η alors f (x) > A. • On dit que f (x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si ∀A

de cette introduction. Ne pas confondre contraposée et réciproque : la réciproque de la propriété P ⇒ Q est la propriété Q ⇒ P : la réciproque d’une implication vraie peut être fausse. 8 Techniques de base L’implication « la série Sun converge ⇒ lim un = 0 » est vraie. n→+∞ Sa contraposée est vraie, mais sa réciproque est fausse : la suite converge vers 0, et la série n∈N 1n diverge (voir § 1.4.2). 1 n n∈N∗ Raisonnement par l’absurde Pour montrer qu’une propriété P est vraie, on suppose qu’elle