Linéaire A

Deux approches de programmation linéaire en nombres entiers pour la conception de roulements de personnels sédentaires François Ramond & David De Almeida SNCF Direction de la Recherche et de la Technologie 45 rue de Londres 75379 Paris Cedex 08 francois.ramond@sncf.fr Stéphane Dauzère-Pérès (Ecole des Mines St Etienne, France) Hanif Sherali (Virginia Tech, USA) Plan de la présentation • • • • • Introduction Formulation à base de variables journalières Formulation à base de patrons hebdomadaires

–3 2 M A X I M U M Ꮿk • Énigme 2 Dans le carré de 1 cm de côté, on considère la surface 1 du demi-carré d’aire cm2. À chaque étape, on ajoute 2 à la surface précédente la moitié de la surface restante. Ainsi on obtient successivement des aires (en cm2) égales à : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; + ou + 2 ; + + ou + 2 + 3, etc. 2 2 4 2 2 2 4 8 2 2 2 Cette quantité augmente bien à chaque étape, mais ne dépassera jamais 1, valeur de l’aire du carré. 1. Vérifier les acquis a) f(2) =

ou coplanaires, que des droites sont parallèles, etc... A. Rappels 1. Vecteurs égaux Un vecteur est défini par une longueur, une direction et un sens. Soient A, A', B et B' quatre points de l'espace.   signifie que AA'B'B est un parallélogramme (éventuellement aplati). AA'= BB' A' Les vecteurs  et  ont même longueur, même direction et AA' BB' même sens. A Remarques : Les 4 points sont coplanaires. B' L'égalité   est équivalente à   ,   et AA'= BB' A'A= B'B AB=A'B'  . BA= B'A' B Le

Transposition et diamètre du verre a commander................04 Calcul d'un tiers payant........................................................06 Calcul du chiffre d'affaire prévisionnel...............................08 Calcul d'un prix de vente......................................................10 Conclusion.............................................................................11 Introduction Dans le métier d'opticien, il y a une omniprésence des mathématiques, que

calculatrices Graph 75 et 95 SD au lycée Par Benoît Truchetet www.casio-education.fr Book-Graph75-Couv 15/12/11 jeudi 15 décembre 201118:39 Page2 Sommaire RÉGLAGES DE LA CALCULATRICE A. Allumer et éteindre la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 A) Allumer la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 B) Éteindre la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . .

´l`ves des e a e ee CPGE. Ce travail se situe entre cours d´taill´ et fiches de cours r´sum´s, il comporte des r´sum´s e e e e e e de cours contenant tous les d´finitions, propri´t´s, th´or`mes, remarques, ..... Disons c’est un e ee e e cours complet, mais sans d´monstrations. Ce travail pourra aussi servir ` un professeur d´butant, e a e cherchant un plan de cours. Remerciements L’auteur tient ` adresser ses vifs remerciements ` tous ceux qui ont contribu´ de pr`s ou de loin a a e e a ` l’aboutissement

4 | 1°) Ce tableau comporte plusieurs erreurs : les trouver et proposer des modifications pour le rendre cohérent. 2°) On sait que [pic]et que[pic]. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 2. Exercice 2 Une urne contient 2 boules noires et 3 boules blanches. On tire au hasard successivement et sans remise deux boules. 1°) Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous

d’abord, si x ∈] − 1, 1[, alors −x ∈] − 1, 1[. Soit donc x ∈] − 1, 1[ puis y = Artanh(x) (ce qui équivaut à x = tanh(y)). Puisque tanh est impaire, on a : Artanh(−x) = Artanh(−tanhy) = Artanh(tanh(−y)) = −y = −Artanhx. On a montré que : Artanh est impaire. 4.- Puisque tanh est dérivable sur R et que sa dérivée ne s’annule pas sur R, on sait que sa réciproque Artanh (définie sur ] − 1, 1[ à valeurs dans R) est dérivable sur ] − 1, 1[ et que, pour x ∈] − 1, 1[ : Artanh ′ (x) = 1 1 1 = = . 2 1 − x2

les inégalités successives suivantes. 0u v. 1 1 Étape 1 :  u v 1 1 Étape 2 : 1  1 u v On a donc f (u)  f (v) . . 2 Déterminer le signe de x 3  8 suivant les valeurs de x. Faire un tableau de signes. 3 On considère la fonction f : x   x  3  1 définie sur . Le but de l’exercice est d’étudier le sens de variation de la fonction f sur chacun des intervalles I1   3 ;   et 2 On a : I 2   ; 3 . 1°) Sens de variation de f sur I1 Soit u et v deux réels quelconques de l’intervalle

NUMÉRIQUES EXERCICE 1 : Les questions 1 et 2 sont indépendantes 1. Une fonction f est représentée par la courbe ci-contre : Déterminer graphiquement : a) l'image de -1 L'image de -1 est 0 1 1 0 b) l'image de 1 L'image de 1 est 2 c) les antécédents de 4 Les antécédents de 4 sont 0 et 3 2- Soit g la fonction affine définie par : 2 1 g:x→ x3 14 5 a) Calculer g(0) et g(- ) 7 2 1 ×0 3 14 1 g(0) = 14 g(0) = b) Calculer l'antécédent de 0 g(x) =0 2 1 x=0 3 14 1 2 x= 3 14 1 3 × x= 14 2 3 x= 28 L'antécédent