Loi de Bernoulli

e ee • F est une fonction en escalier, • P r(a < X ≤ b) = F (b) − F (a), • F est croissante, • lim−∞ F (x) = 0 et lim+∞ F (x) = 1, • P r(X > a) = 1 − P r(X ≤ a) = 1 − F (a). 1.3.2 Loi de probabilit´ e Si X est une variable al´atoire discr`te avec pour ensemble de valeurs {x1 , x2 , . . .}, sa loi de e e probabilit´ est d´finie par tous les pi = P r(X = xi ). Bien sˆr, on a i pi = 1. e e u 1.3.3 Moyenne et Variance Comme dans le cas des statistiques, on peut d´finir moyenne

devant les dimensions de la poutre, les actions s'exerçant sur celle-ci seront calculées à partir du principe fondamental de la statique. Les supports des forces seront eux considérés comme O A constants. A' F 2.4. Les déformations ◊ Navier & Bernoulli : Les sections planes normales aux fibres avant déformation demeurent planes et normales aux fibres après déformation. O A ◊ Barré de St Venan : Les résultats obtenus par la RDM ne s'appliquent valablement qu'à une distance suffisamment éloignée

D. Lois de probabilite • loi de Bernoulli de parametre p, p p(X = 1) = P et p(X = 0) = 1 - P E(X)=p V(X)=p(1-p) E E [0 ; 1] X peut prendre les valeurs 0 et 1 avec les probabilites • loi binomiale2J3(n. p), n N* , P E [0 ; 1] X peut prendre les valeurs entieres 0, 1, ... , Pour O~k~n, E(X) = np n P(X=k)=C)pk(1-p)n-k V(X) = np( 1 - p) • loi uniforme sur [0 ; 1] J etant un intervalle indus dans [0 ; 1]. p(J) =Iongueur de J • loi exponentielle de para metre

unités d’un sous groupe de la population mère. 2. LES CALCULS DE LA TAILLE DE L’ECHANTILLON Le calcul de la taille de l’échantillon est très important. La taille de l’échantillon s’écrira toujours « n ». Il est déterminé par une loi mathématique de BERNOULLI. La formule est la suivante : ------------------------------------------------- N = t2 x (p x q) / e2  T= seuil de confiance. C’est la probabilité de tomber juste. Si on a un seuil de confiance de : * 68% alors t = 1 *

indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Produit d’espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Éléments aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Définition et caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Loi de probabilité d’un élément aléatoire . . . . . . . . 2.3.3. Éléments aléatoires indépendants . . . . . . . . . . . . Chapitre 3. Variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 Probabilités et statistique

d’une utilité totale. Le concept d’utilité marginale était présente depuis longtemps, on le retrouve chez les classiques qui ont suivit Ricardo, mais aussi dans contribution bien plus ancienne, comme le fut celle de Bernoulli, qui n'a pas eu d'héritier. Il s'agissait alors de Daniel Bernoulli, qui dans les années 1730, répond dans un mémoire adressé a l'académie des sciences de saint Petersbourg, a un problème qui avait été présenté sous forme de paradoxe par son cousin Nicolas : Il s’agissait d’un problème

la propulsion est celle de la roue à aubes. Le bras tendu du nageur se déplace de façon circulaire autour d’un point fixe : son épaule. Il repousse ainsi l’eau vers l’arrière, créant ainsi une trainée lui permettant d’avancer. C’est la troisième loi de Newton. Beaucoup de chercheurs admettent que la trainée produite par le bras est fondamentale dans la propulsion du nageur. Mais d’autre hypothèse ont été proposées : comme celle de James Counsilman (entraineur américain). Il a placé des petites

s'assurer contre les dangers de la vie courante pouvant avoir un impact dommageable pour la reprise ou la continuité de l'activité. Le risque aryétique : La notion de risque est issue de l'étude mathématique des jeux (Pascal, Fermat, Huygens, Bernoulli). Le risque apparaît alors comme le centre de gravité (la moyenne pondérée, le barycentre ou l'espérance mathématique) entre les conditions de gains et de pertes. Ainsi le risque est nul dans un jeu où l'on a autant de "chances" de gagner que de

équilatéraux, donc p(Q) = 0. = 3. On réitère dix fois cette expérience de tirer trois jetons de l'urne, en remettant les jetons dans l'urne après chaque 3 tirage. Soit X le nombre de triangles rectangles; X suit une loi binomiale de paramètres 10 et , car l'épreuve de 5 Bernoulli qui consiste à tirer trois jetons de l'urne se répète de manière identique et indépendante. Donc pour tout k 10 k 3 entier k compris entre 0 et 10, p(X = k) = 10 k 5 3 7 2 5 34 210 5 9 . Donc, la probabilité

remise jusqu'à obtenir une boule blanche. Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges, on admet que l'on peut modéliser le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche par une variable aléatoire Z suivant la loi: pour tout kEN, P(Z(k)= rO,ole-O,OIXdx. On répondra donc aux questions suivantes à l'aide de ce modèle. a. Calculer la probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus 50 boules pour avoir une boule blanche, soit P ( Z ( 50) . Calculer la probabilité