Loi de Bernoulli

non N’a pas tout plein de chiffre après la virgule Variable qualitative (couleur de cheveux, niveau de satisfaction, sexe, type de c/) Variable quantitative discrète (nb de cas de grippe dans une famille de 5pers, nb de jeune dans une portée…) Loi de proba : somme des proba = 1 Espérance : C’est la valeur moyenne de X : μ Propriétés : (X et Y, 2 v.a discrètes def sur le même univers) E(XY) = E(X) E(Y) E(aX) = aE(X) E(a+X) = a + E(X) Soit Z = X-E(X), E(Z) = E[X-E(X)] = E(X)-E[E(X)]

épreuve de Bernoulli (c’est-à-dire qui a deux solutions : le succès S et l’échec S/) ayant p pour paramètre (la probabilité que le succès se réalise) et X une variable aléatoire désignant le nombre d’essai de l’épreuve avant d’obtenir le succès. X adopte alors des valeurs non-nulles puisque le succès ne peut pas arriver si l’épreuve n’est pas réalisée(X=0) ; la plus petite valeur de X est donc 1. Par conséquent, X suit la loi géométrique

aussi souvent employ´ee). Une variable al´eatoire X de loi la mesure de Dirac en x0 È E est presque sˆ urement constante ´egale `a x0 et r´ecipoquement : PX Øx0 Ù ÈØX x0 Ù 1. Lorsque E Ê, on a ÖX × x0 , VarÔX Õ ϕX Ôθ Õ 0, eiθX eiθx0 . Fonction de r´ epartition Mesure de Dirac en x0 1 1 0 0 x0 x0 On pourra prendre pour d´efinition : D´ efinition. — Soit ÔE, E Õ un espace mesurable s´epar´e (tous les singletons sont mesurables). Toute loi discr`ete sur ÔE, E Õ est combinaison barycentrique

visqueux dans le Dv   grad ( P)   g . champ de pesanteur :  Dt  Forme simple de la relation de Bernoulli : Pour deux points A et B d’une même ligne de courant, dans un écoulement parfait et stationnaire d’un fluide incompressible soumis au seul champ de pesanteur uniP v2 P v2 forme, on a : A  gz A  A  B  gzB  B .  2  2  Forme étendue de la relation de Bernoulli : Dans un écoulement parfait, stationnaire et irrotationnel d'un fluide incompressible, soumis au seul champ

de loi uniforme sur [0, 1] (sous scilab, commande rand). En général, ce générateur n’est que “pseudo-aléatoire” au sens où il est construit sur un algorithme déterministe. Mais on suppose qu’il est parfait, et que différents appels à cet algorithme fournissent des variables aléatoires de loi uniforme sur [0, 1], indépendantes. A partir de cette brique de base, on peut obtenir toutes les lois, par des considérations assez simples. 1. Utilisation de propriétés de certaines lois (1) La loi de

La troisième loi de Newton indique que « Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensité égale, de même direction mais de sens opposé, exercée par le corps B ». Ici, le corps A est l’aile tandis que le corps B est l’air. En effet, L’aile en déviant l’air vers le bas subit une force exercée par l’air d’intensité égale et de sens opposé. L’aile est donc poussée vers le haut. 3) Bernoulli La seconde partie de la portance est due à l’attirance de l’aile vers le haut

Les lois Dans cette leçon, la majorité des formules ne sont pas à apprendre, cela se fait grâce à la calculatrice. 1. Loi binominale Lorsqu’une épreuve est à deux issus : succès et échec. Alors, il s’agit d’une épreuve de Bernoulli. Si l’épreuve de Bernoulli se répète X fois, alors il s’agit d’un schéma de Bernoulli. Ainsi la variable aléatoire X qui suit un schéma de Bernoulli : B (N ; P). 2. Fonction densité de probabilité Une fonction densité de probabilité est une fonction continue et

D’ERDÖS-RÉNYI - CORRIGÉ On a rédigé les programmes demandés en pseudo-code, les variables des programmes apparaissant en gras. 1.1 Le programme suivant tire au hasard un graphe de loi G(n, p), avec n ≥ 1 et p ∈ [0, 1] : RandomGraph(n,p): res = liste vide pour i entre 1 et n: pour j entre i+1 et n: alea = tirage d’une variable de Bernoulli de parametre p si alea == 1: adjoindre [i,j] a res retourner la liste res 1.2 Pour dessiner le graphe G(n, p), on peut utiliser le programme simple suivant, qui place les

STS MAI 2 2006/2007     Chapitre 2 : Probabilit´es Fiche 3 : Loi binomiale & Loi de Poisson 1 Loi binomiale 1.1 Introduction On consid`ere une exp´erience al´eatoire qui a deux issues possibles : r´eussite ou ´echec. On notera p la proba- bilit´e de r´eussite et q la probabilit´e d’´echec. On a alors p+q = 1. Une telle exp´erience est appel´ee ´epreuve de Bernoulli1. Exemple 1 : une ´epreuve consiste `a lancer un d´e. On gagne si l’on obtient un 6. On a donc p = . . . . . . et

sein d’un fluide SOMMAIRE REMERCIEMENTS ............................................................................ 5 INTRODUCTION .............................................................................. 7 1. MARCHE ALEATOIRE DE BERNOULLI ........................................... 9 1.1. MODELE PROBABILISTE ....................................................... 9 1.1.1. Marche aléatoire sur ℤ ...................................................................... 9 1.1.2. Marche