Loi normale multidimensionnelle

Introduction…………………………………………………………………………….…4 2. Lois discrètes……………………………………………………………………………..4 2.1. Loi uniforme…………………………………………………………………………………………..4 2.1.1. Définition……………………………………………………………………………..….4 2.1.2. Espérance et variance…………………………………………………………..5 2.2. Loi de Bernoulli……………………………………………………………………………………..5 2.2.1. Définition………………………………………………………………………………...5 2.2.2. Espérance et variance………………………………………………………….5 2.3. Loi Binomiale………………………………………………………………………………………….6 2.3.1. Définition……………………………………………………………………………

la taille minimale d’un échantillon pour ne pas dépasser un niveau de 3% d’erreur dans le cadre d’un coefficient de confiance de 95% ? E = 3% tc = 1,96 p = 0,5 n = 1,962 * 0,5 * (1 - 0,5) = 1067 0,032 Distribution normale * Propriété 1 : Si Z est distribuée selon une N (0,1) alors P (-a < Z > O) = P (0< Z < a) * Propriété 2 : Si Z est distribuée selon une N (0,1) et si a est positif alors P (Z > a) = 0,5 – P (0 < Z < a) Exemple :

Lycée Langevin-Wallon, académie de Créteil TABLE DES MATIÈRES 10.3 Variables aléatoires et lois de probabilité . 10.3.1 Variables aléatoires discrètes . . . . 10.3.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Variables aléatoires continues . . . 10.3.5 Loi normale (loi de Laplace-Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2 (5 points) : On d´sire savoir si, chez les individus qui consomment e r´guli`rement de l’huile d’olive, le risque cardio-vasculaire est diminu´. On utilise pour e e e cela un indice (calcul´ a partir du dosage en d-dim`res), qui suit une loi normale. e ` e Plus cet indice est faible, moins le patient pr´sente de risque cardio-vasculaire. Sur un e ´chantillon de 7 individus consommant de l’huile d’arachide, on a observ´ une moyenne e e 1 de x7 = −0.67, avec une variance empirique de s2 = 7 7

e e 2.1.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Loi hyperg´om´trique . . . . . . . . . . . . e e 2.1.4 Loi de Poisson ou loi des ´v´nements rares e e 2.1.5 Loi binomiale n´gative . . . . . . . . . . . e 2.1.6 Loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Quelques lois de probabilit´ continues . . . . . . . e 2.2.1 Quelques d´finitions pr´liminaires . . . . . e e 2.2.2 Loi normale ou de Laplace Gauss . . . . . 2.2.3 Loi du χ2 .

DES PRINCIPALES LOIS DE DISTRIBUTIONS DE PROBABILITES 1 Loi Binomiale B(n,p) Il s’agit en fait de la somme de n variables aléatoires indépendantes [pic] qui suivent une loi [pic], de même paramètre p. ❑ [pic] avec [pic] ❑ [pic] ❑ [pic] Somme de lois binomiales. Soient deux variables aléatoires indépendantes: [pic] qui suit [pic], et [pic] qui suit [pic]. La V.A. définie par [pic] suit une loi [pic]. 2 Loi de Poisson P(() On appelle variable aléatoire de Poisson une

sachet est défectueux" (succès) de probabilité = 0,05 ; et "le sachet n'est pas défectueux" (échec) de probabilité = 1 − = 0,95. Donc suit la loi binomiale de paramètres = et = , . 2°) 3°) =2 = ≥1 =1− = × 0, 05 × 0,95 =0 =1− ≈ , × 0, 05 × 0,95 ≈ , B. Loi binomiale C. Loi Normale 1°) Soit , ≥ 104 = =Π 2 = , On a utilisé les formules : suit la loi normale centrée réduite 0 ; 1 . − 120 104 − 120 ≥ = ≥ −2 = 1 − Π −2 = 1 − 1 − Π 2 8 8 ≥ =1−Π et Π − =1−Π 2°) Calculons d'abord la probabilité

avait fait analyser 200 ? 1000 ? 10.000 ? Les questions 2., 3. et 4., portant sur la taille de l'échantillon, et sur la conance que l'on peut accorder au sondage sont du domaine de l'estimation : elles obtiennent une réponse avec les résultats sur la "loi des grands nombres". La question 1., elle, relève du champ de l'échantillonnage. Cette théorie répond à la question : "comment varie la proportion relevée d'un échantillon à l'autre, sachant que tous sont de même taille donnée à l'avance ?". Ces questions

les  ensembles  finis  (permutations,  combinaisons,  rappel  de probabilités simples, probabilités conditionnelles, événements indépendants)  Variables  aléatoires  à  valeurs  réelles  (loi  de  probabilité,  fonction  de  répartition,  espérance  mathématique,  variance,  écart  type,  loi  binomiale,  loi  normale,  approximation, somme de variables aléatoires)  270 heures    Unité U3    ECONOMIE – DROIT     Coefficient 2  o Economie Générale  a/  les acteurs de la vie économique et sociale et leurs comportements 

d’une loi de probabilité finie Espérance mathématique d’une loi finie Variance et écart-type Loi de probabilité produit Variables aléatoires indépendantes Fonction de répartition Variables infinies dénombrables Variables aléatoires continues Chapitre 6 : Exemples de distributions 6.1 Lois discrètes 6.1.1 Loi de Bernoulli 6.1.2 Loi binomiale 6.2 Lois continues 6.2.1 Loi normale 6.2.1.1 Définition 6.2.1.2 Propriétés 6.2.2 Loi du χ2 (chi-2) 6.2.2.1 Définition 6.2.2.2 Propriétés 6.2.3 Loi de Student