Loi normale multidimensionnelle

VARIABLES ALEATOIRES TABLE DES MATIÈRES 1. Loi de probabilité 2 1.1. Exemple 2 1.1.1. Calcul de probabilités sur un univers W 2 1.1.2. Variable aléatoire à valeurs réelles. 2 1.1.3. Probabilité image définie par une variable aléatoire 2 1.1.4. Loi de probabilité ou distribution d’une variable aléatoire 3 1.1.5. Fonction de répartition 3 1.2. Autres exemples 3 1.2.1. Exemple de variable aléatoire discrète 3 1.2.2. Exemple de variable aléatoire discrète, prenant une infinité de valeurs 3

presque certain qu’elle n’a pas de défaut. Par contre, si une carte est rejetée, la probabilité qu’elle ait un défaut n’est pas forte (moins de 50 %). 1. 0,5 2. a) ( ) 0,75 0,75 2. b) 0,5 11PY-ISDRMAT-1 2/5 Partie B : loi de Poisson 1. 2. Avec le formulaire ou avec la calculatrice, P ( X = 5) ≈ 0,18 . Quelle que soit la méthode (utilisation de la table, avec ou sans l’événement contraire, utilisation de la calculatrice), P ( X > 10) ≈ 0,01 . P( X ≤ 6) ≈ 0,763 et P( X

Variables aléatoires : X Loi de probabilités : soit p(xi) = P(X = xi) la probabilité que X = xi ∑ P(X = xi) = 1 si X est discrète, la loi de proba : X=xi x1 x2… P(X=xi) P1 P2… 1 f(x) ≥ 0 ∫f(x)dx = 1 sur tt domaine P(a ≤ X ≤ b) = ∫f(x)dx sur [a,b] si X est continue on définit une fonction f(x) de densité telle que : Fonction de répartition pour une v.a discrète : F(x) = P(X ≤ x) = ∫f(x)dx f(x) = (F(x))’ Propriétés : 0 ≤ F(x) ≤ 1, monotone décroissante, continue à droite. Loi de probabilité simultanée

symétrique la série est oblique à droite la série est oblique à gauche L’aplatissement  Coefficient de Pearson: u4  4 2  u2  Si   3 u4 la distribution est normale  Si   3 la distribution est plus aplatie que la distribution normale  Si   3 la distribution est moins aplatie que la distribution normale 

Exercice 2 A. Loi normale 1. Calcul de P (9,5 ≤ X ≤ 10,5) La variable aléatoire Xsuit la loi normale N ( 10 ; 0,21 ), la variable aléatoire T = X − 10 0,21 centrée réduite . Si X=9,5 alors T = 9, 5 − 10 =− 0,5 suit la loi normale 0,21 Si X=10,5 alors T = 10, 5 − 10 0,21 0,21 ≃ −2,38. = 0,5 0,21 ≃ 2,38. P (9, 5 ≤ X ≤ 10, 5) =P(−2,38≤T ≤2,38)

à la vente du produit. Les prix de ces produits sont fixés à partir de ceux des titres qui les composent. Les prix sont des variables très aléatoires, ils changent suivant le produit. Ces variables suivent la loi de Gauss, caractérisée par deux paramètres. Cette loi aussi nommée « loi normale » est très célèbre et très souvent utilisée car elle résume plusieurs distribution statistiques observées. La représentation graphique de sa fonction de densité, continue et symétrique, présente une forme simple

… , ε T ont une moyenne nulle, c’est-à-dire Ε(ε t ) = 0 ∀t = 1, … , T (H3) homoscédasticité : Var (ε t ) = σ 2 ∀t = 1,…, T (H4) non autocorrélation : Cov(ε t , ε t ' ) = 0 ∀t ≠ t ' (H5) normalité : les erreurs sont distribuées suivant une loi normale. - sur les variables explicatives : (H6) les variables X1, X2, X3, …, Xp sont non aléatoires. Néanmoins la théorie se généralise facilement pour des variables aléatoires. (H7) exogénéité : les variables X1, X2, X3, …, Xp sont indépendantes du terme

autocorrélation faible implique que notre échantillon est presque indépendant, le phénomène périodique a donc été éliminé. Question 4 : Représentation des lois Remarque : on trace l’histogramme de B dès maintenant, pour trouver les paramètres de chaque loi qui se rapprochera le plus de la densité que l’on cherche. | | |x=c(1:16790)

pas le reporter sur la copie (sauf si on a du temps de reste). Ce travail prend beaucoup de temps et ne rapporte aucun point. DESCF 2006 1 Corrigé commenté DESCF 2006 2 Corrigé commenté Question 1.2 – Calcul des paramètres de la loi de probabilité de la variable aléatoire « durée du projet » La lecture de l’annexe 2 (tableau A) montre que certaines tâches ont une durée certaine (A3 et C9). Les autres, et en particulier celles qui forment le chemin critique ont une durée aléatoire

probabilité de (1-q) Soit, pour une position de valeur de marché Vt : ~ ~ P ∆Vt > VaRq = 1 − q ou P ∆Vt ≤ VaRq = q Si les variations de valeur de la position suivent une loi normale : ~ ~  ∆Vt − π VaRq − E ∆Vt  P =q ~ ≤ ~ σ ∆Vt σ ∆Vt     [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ~ ~ VaRq ∆Vt − E ∆Vt Le quantile de la loi normale centrée réduite est noté zq, soit ici : = zq ~ σ ∆Vt ~ ~ ~ La Value at Risk peut donc s'écrire : VaRq ∆Vt = E ∆Vt + z q × σ ∆Vt ( ) ( ) ( ) [2] ( ) ( ) ( )