Loi normale multidimensionnelle

DCG UE11 Fiche 1 en Probabilités La loi Binomiale I) Contexte d’application : Soit une épreuve E de Bernoulli, c’est à dire une épreuve à deux issues possibles : S = Succès On répète n p = P (S ) E = Echec Epreuve de Bernoulli : de Probabilité de Probabilité q = P (E ) = 1 − p fois cette même épreuve et ceci de manière indépendante. On s'intéresse alors à la variable aléatoire X représentant le nombre de réalisations de l’événement S (succès) au cours de ces

indépendantes, l’incertitude se calcule à l’aide de l’écart-type σ n -1 = ∑ (g i −g i n -1 ) 2 d’ordre n–1 (appelé encore écart type de l’échantillon). On prend alors 1 ∑ gi . n i Si la distribution des mesures suit une loi gaussienne, alors les observations montrent que σn–1 est un bon estimateur de l’incertitude pour un très grand nombre de mesures, mais on pratique très rarement 30 000 mesures !!! comme valeur de g, la moyenne des mesures : g = • Type B : Il

Partie A . L suit une loi normale N( 75, 0,25²) soit  = 75 et = 0,25 1. On a donc p( 74,4 < L < 75,6) = normalFrep( 74,4 , 75,6 , 75, 0,25 ) = 0,9836..= 0,984 à 10 -3 près 2. On doit avoir h= 2 car c’est un résultat du cours ( p(  – 2 < X <  + 2) = 0,95) donc h = 2x0,25 = 0,5 Partie B . 1. Il s’agit d’une expérience de Bernoulli (succès p = 0,02 échec q= 0,98) répétée n = 20 fois dans les mêmes conditions et de façon indépendante, donc le nombre X de succès suit une loi binomiale B(n,p) =

aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[, il existe un unique réel strictement positif χα tel que P −χα X χα = 1 − α. Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels R par f (t ) = Soit H la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ par H (x) = P (−x 1 2π X t2 e− 2 . x) = x f (t ) dt . −x 1. La fonction f représente la fonction de densité de probabilité pour la loi normale centrée réduite.

comme une moyenne communément admise, et donc devenant la référence : « Qui est conforme à une moyenne considérée comme une norme ». Il est bien évident que la normalité ne peut se restreindre à cette seule définition. En effet, l’emploi des mots « normal » ou « normalement » sert généralement à exprimer un point de vue communément admis, une habitude ou son accord tacite. Le quiproquo possible lors de ce rapport entre individus différents dans leurs expériences et leurs cultures dénature l’expression

ci-contre a les fiabilités élémentaires suivantes pour 1000 heures : Ra=0,90 ; Rb=Rc=0,81 ; Rd=Re=Rf=0,66 ; Rg=0,93 Calculer la fiabilité et le taux de défaillance de l’ensemble. Exercice 2 : Deux chariots travaillent en redondance active. Leur loi de durée de vie est du type. La MTBF d’un chariot est de 54 heures. Quelle est la fiabilité du système au bout de 16 heures ? Exercice 3 : Sur une série de 150 nouveaux capteurs mis en fonctionnement, on a relevé les TBF suivants : Intervalle de

6 VI. Complétion (la statistique complète) : Définition : Soient T une statistique et une application Une statistique T est dite complète si et seulement si 1- Cas de la famille exponentielle : Théorème : Soit un n-échantillon de X, de loi famille exponentielle d’ordre 1 i.e: h c è (de densité ) si appartient à la alors la statistique 2- Estimateur sans biais de variance uniformément minimum : Définition : Un estimateur minimum si de est dit sans biais de variance

d'automobilistes arrivant au péage. La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre  = 1. Le processus de Poisson se rencontre aussi dans les exemples suivants : appels à un standard téléphonique, arrivées de clients à une caisse, nombre d'erreurs sur une page de documents, pannes de machine, apparition de défauts sur des tissus… Loi de Poisson : La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre  ( > 0 ) lorsque sa loi de probabilité est : k est un entier naturel. On a alors

discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale . . 2.4.1 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Approximation d’une loi binomiale par une loi 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

compagnies A et B et x T N M xA T ; xB T ; 1 Q T B AB AB sont les transformées de la distance au défaut des B est le coefficient de corrélation de la copule gaussienne. M(a ; b ; ) est la fonction de 1 répartition d’une loi normale bivariée indiquant la probabilité pour que la première variable soit inférieure ou égale à a et que la seconde soit inférieure à b, lorsque la corrélation entre ces variables est égale à . On a donc, AB T M xA T ; xB T ; QA T Généralement