Loi normale multidimensionnelle

Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale . . 2.4.1 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Approximation d’une loi binomiale par une loi 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fracturé de la région de Mirabel (Qc). c) Le graphique de probabilité normale pour les valeurs de concentration en ion chlorure mesurées (Figure 1.2) ne suggère pas une distribution normale étant donné que les points ne forment pas une droite. (mg/L) (mg/L) Fig. 1.2 : Graphique de probabilité normale pour les valeurs de concentration en ion chlorure mesurées (mg/L). Fig. 1.2 : Graphique de probabilité normale pour les valeurs de concentration en ion chlorure mesurées (mg/L). d)

monétaires d’un portefeuille obéit à une loi normale. 2. LES DIFFÉRENTES CLASSES DE MÉTHODES DE CALCUL DE LA VAR 2.1 MÉTHODES PARAMÉTRIQUES , COVARIANCE-VARIANCE (ARCH, GARCH UNIVARIÉ, GARCH MULTIVARIÉ, RISKMETRICS). La VaR paramétrique est calculée à partir d’un calcul analytique assez aisé en pratique, mais elle repose sous des hypothèses théoriques assez contraignantes. Les principales hypothèses sont les suivantes : que les prix du marchés suivent une loi normale et que les instruments présentent une

de maintenance effectue des vérifications et décide, ou non, d’intervenir. Le volume d’eau (exprimé en m3) contenu dans le bassin, à la fin d’une journée d’exploitation de cette attraction, est modélisé par une variable aléatoire X suivant une loi normale d’espérance = 160 et d’écart type = 5. 1. a) Calculer (150 ≤ ≤ 170). b) En déduire la probabilité que l’équipe de maintenance soit obligée d’intervenir pour respecter les normes de sécurité. 2. Quelle est la probabilité que l’équipe de maintenance

corrélation . . . . . . . . . . . . . . Variables Aléatoires Continues Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densité de probabilité . . . . . . . . . . . . Fonction de répartition. . . . . . . . . . . . Exemple: v.a. uniforme et v.a. normale . Fonction d’une V.A. . . . . . . . . . . . . . Grandeurs statistiques . . . . . . . . . . . . Fonction linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . Deux variables aléatoires . . . . . . . . . . V.A. Conditionnées . . . . . . . . . . . . . . Espérance

méthodes Limites de la Var Conclusion Présentation de la Value At Risk  Définition: VaR: la perte potentielle maximale d’un portefeuille dont le rendement suit une loi donnée, pour une probabilité fixée sur une période de détention donnée. Exemple:  Exemple concret:  Valeur du portefeuille 100Meuro Rendement suivant la loi normale N(0,1) Risque de 1% sur 10 jours   VaR=2.57*1%*100=2.57 Value At Risk        Introduction Un peu d’histoire Présentation de la Value At Risk Méthodes

II – Echantillonnage & estimation 2V314 - 2015-2016 – © D. Lamy Distribution d’échantillonnage de la moyenne Quelle loi pour X ? Théorème Central-Limite (TCL) Si X → Loi quelconque L avec E(X) = µ et Var(X) = σ² n →€∞ Si X → N (µX, σX) € quelque soit n X → loi normale En pratique n ≥ 30 X → loi normale Quels paramètres pour la loi de distribution de X ? € Espérance mathématique de X : E ( X ) E ( X ) = E ( X ) = µX € Variance de X : 2 σ Var X ( ) Var ( X ) Var X = = X ( ) n n

seront plus précis si l’effectif n de l’échantillon est le plus grand possible V/F 4. Si n = 220 et 0,6, on peut approximer la distribution de par une loi Normale V/F Car n > 50 et np(1 – p) = 52,8 > 10 5. Si n = 220 et 0,7, on peut approximer la distribution de par une loi de Poisson V/F Là aussi il vaut mieux utiliser une approximation normale car np(1 – p) = 46,2 > 10 B. Pour les clients possédant un jardin, on veut estimer la surface moyenne µ de ces jardins. 1. Pour estimer une moyenne on

. . . . . . . . e 1.2.1 Espaces et axiomes . . . . . . . 1.2.2 Ind´pendance . . . . . . . . . . e 1.2.3 Probabilit´ conditionnelle . . . e 1.3 Variables al´atoires . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Fonction de distribution . . . . 1.3.2 Distribution Normale . . . . . . 1.3.3 Autres distributions . . . . . . . 1.3.4 Distributions multivari´es . . . e 1.3.5 Moments . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Estimateurs . . . . . . . . . . . 1.4 Approximations asymptotiques . . . . 1.4.1 Motivations . . . . . . .

reproduit le passé On va se munir des cours historiques du marché On suppose que les tendances futures seront identiques paramétrique : Avec m et sigma estimés selon la méthode choisie (cf partie 3) Zq dépend de la loi de probabilité choisie comme modèle Ex : pour une loi normale : Z95% = 1.65 Z99% = 2.33 ESSI - 15/02/2004 Nicolas MARTIN – Josselin TOBELEM 8 3 – Les différentes méthodes A. VaR historique 1/2 Sans tirages Calculer les rendements historiques des composantes du portefeuille