Loi normale

X une variable aléatoire réelle, de loi ou bien discrète ou bien continue, dont on veut estimer un paramètre θ. On note cette famille de lois paramétriques. Alors on définit une fonction f telle que : fθ(x) représente la densité de X (où θ apparaît) et Pθ(X = x) représente une probabilité discrète (où θ apparaît). On appelle vraisemblance de θ au vu des observations (x1,...,xi,...,xn) d'un n-échantillon indépendamment et identiquement distribué selon la loi , le nombre : On cherche à trouver

− P ( A ∩ B ) = 0.05 + 0.10 – 0.005 = 0.145 Partie B : Loi binomiale et loi de Poisson 1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale car nous avons n tirages indépendants (prélèvements au hasard et avec remise) et il y a deux issues possibles (expérience de Bernoulli) : soit la fiche indique une pression intraoculaire normale (succès p =0.10), soit ce n’est pas le cas (échec q = 0.90). Les paramètres sont B (n , 0.10). 2. On a la loi binomiale de paramètres B(10 , 0.10). On va calculer P(X=0)

AVERAGEA BETA.INVERSE Anglais AVERAGEA BETAINV Fonctions Calcule la moyenne de ses arguments, y compris les nombres, le texte et les valeurs logiques Renvoie l'inverse de la fonction de densité de distribution de la probabilité suivant une loi Bêta cumulée Renvoie le kième centile des valeurs d'une plage Renvoie une valeur normalisée Renvoie la dissymétrie d'une distribution Renvoie le coefficient de corrélation entre deux ensembles de données Renvoie le carré du coefficient de corrélation

usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.1 La loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 1.4.2 La loi hyperg´om´trique H(N, n, p) . . . . . e e 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N (µ, σ) . . . 1.5.2 La loi du Khi-deux ` n degr´s de libert´ (χ2 ) a e e n 1.5.3 La loi de Student ` n degr´s de libert´ (Tn ) . a e e 1.5.4 La loi de Fischer-Snedecor (F(n1 , n2 )) . . . . 5 5 5 7

B – Loi binomiale D : une composition florale prélevée au hasard est défectueuse P(D) = 0,025 On prélève au hasard 12 compositions florales (assimilé à un tirage avec remise) X est la variable aléatoire, qui, à tout prélèvement ainsi défini associe le nombre de compositions qui sont défectueuses. 1. On effectue un prélèvement 12 fois de suite, les épreuves sont indépendantes 2 à 2 et il y a 2 issues : La composition est défectueuse p = 0,025 ou elle ne l’est pas q = 0,975 Donc X suit la loi binomiale

échantillon, associe la fréquence f du K caractère C. Alors F = . On suppose n petit par rapport à N donc K suit la loi binon miale B(n, p). 3. 2. Distribution d’échantillonnage des fréquences Soit l’ensemble de tous les échantillons de taille n, issus de la population. Les fréquences f1, f2,.... fi,...constituent une série statistique appelé distribution des fréquences. Puisque K suit la loi binomiale B(n, p) nous savons que : E(K) = np et V(K) = npq où 1 np 1 npq pq q = 1 – p. alors E ( F ) =

puisque en vertu de l’approximation normale, [pic]fluctue autour de µ. On essaie donc de construire un intervalle d’estimation autour de [pic]qui a des chances d’encadrer µ. 1 Estimation par intervalle de la moyenne d’une population : cas de grands échantillons A σ connu Lorsque la taille de l’échantillon est suffisante, c'est-à-dire n ≥ 30, le théorème central limite pourra être appliqué à la distribution de[pic], et elle suivra une loi normale Nous allons montrer comment

d’asymétrie Calculons les débits de retour des périodes 20, 50 et 100 ans avec la loi log-normale On utilise la relation suivante : On a Pour une période de retour de 20 ans on a Selon le tableau 10.8 on a Z=1.645 donc /s Pour une période de retour de 50 ans on a Selon le tableau 10.8 on a Z=2.06 donc /s Pour une période de retour de 100 ans on a Selon le tableau 10.8 on a Z=2.33 donc ainsi /s La loi Log-pearson : avec Pour une période de retour de T ans , on a p=1/T On calcule

A se produise sachant que B se produise : A et B sont indépendant si Statistiques inductives Loi Normale avec : moyenne et Utilisation des tables :   X : n’importe quelle variable : variable centrée réduite telle que et : écart-type 2 Une valeur centrée réduite est nulle si elle est à la moyenne. Quand on a une valeur négative : Intervalle où l’en trouve 95% des valeurs : avec . Loi Binomiale Distribution continue qui donne les probabilités de voie apparaître un évènement de probabilité

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