Loi uniforme discrète

Fonction de probabilité f(x) = P[X = x] où f(x) ≥ 0 et f(x) = 1 DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS DISCRÈTES P[X≤n] = P[X=0] + P[X=1]+ … + P[X=n] P[X≥n] = P[X≤n-1] = 1-{P[X=0] + P[X=1]+ … + P[X=n-1] Probabilité uniforme f(x) = 1/n n = nb de valeurs que peut prendre x Espérance = moyenne E(x) = µ =  x.f(x) Variance Var(x) = 2 =  (x-µ)2.f(x) Loi binomiale f(x) = (■(n@x)) px (1-p)n-x µ = np 2 = np(1-p) n = nb de tirages p = probabilité de succès à chaque tirage x = nb de succès

méthode des volumes finis se base directement sur la forme dite « forte » de l'équation à résoudre, alors que la méthode des éléments finis se fonde sur une formulation variationnelle de l'équation dite « faible ». Aussi, les inconnues ou variables discrètes ne sont pas les extrémités des mailles comme le préconise la méthode des différences finies, mais sont plutôt situées à l'intérieur des mailles. Le principe des méthodes de volumes finis consiste à découper le domaine Ω en des volumes de contrôle

N–q 3. On calcule enfin la valeur observée de la variable de test : 2 s1 F q – 1, N – q = ---- . 2 s2 Les valeurs de référence de la variable de test sont à lire dans les tables de la loi de Fisher-Snedecor. Elles dépendent des deux degrés de liberté q – 1 et N – q, et du risque α. On notera que les tables de la loi de Fisher-Snedecor sont unilatérales. En effet, si H0 est fausse, alors l’estimation inter-classes de la variance ne peut être qu’augmentée. • Conditions et précautions – En théorie les

associés. Pour ce faire, nous présentons d'abord une dénition (uniée) d'un noyau associé à une loi de probabilité quelconque (continue ou discrète). Nous étudions de manière détaillée quelques exemples des noyaux continus symétriques (e.g., normal, Epanechnikov, etc.), continus asymétriques (e.g., bêta, gamma, gaussien-inverse et gaussien-inverseréciproque), discret catégoriel (Aitchison & Aitken, 1976) et discret de dénombrement (e.g., triangulaires symétriques, standards asymétriques d'ordre 1 tels que

. . . . . . . . 34 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Variables aléatoires réelles 43 3.1 Définition-Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Variables aléatoires absolument continues . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 Fonction génératrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5 Fonction caractéristique . . . . . .

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé Variables discrètes finies - Exercices pratiques Exercice 1 - Loi d’un dé truqué - L2/ECS 1. X prend ses valeurs dans {1, . . . , 6}. Par hypothèse, il existe un réel a tel que P (X = k) = ka. Maintenant, puisque PX est une loi de probabilité, on a : 6 P (X = k) = 1 ⇐⇒ a k=1 6×7 = 1 =⇒ a = 1/21. 2 On a donc : k P (X = k) 1 2 3 4 5 6 1 21 2 21 3 21 4 21 5 21 6 21 On vérifie aisément en

1.2 Avant-Propos . 1.3 Phénomènes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Deux idées majeures et incontournables . . . . . . . . 1.4.1 La loi des grands nombres . . . . . . . . . U E . . . 1.4.2 Conditionnement et Indépendance .N I.Q . . . . . H 1.5 Les variables aléatoires . . . . . . .T.E C . . . . . . . . . . Y ........... 1.5.1 Loi d’une variable aléatoire POL 1.5.2 Simulation de L E variables aléatoires . . . . . . . O 1.6 Historique . . É C. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Pour faciliter les regroupements de produits d’importances similaires, on utilise très  fréquemment la méthode dite de classification ABC.    • • •   Il existe différentes appellations pour cette méthode :   Méthode ABC .   Méthode des 20‐80.   Loi de Pareto.   L’hypothèse de base de la méthode ABC est la suivante :      Environ 80 % des effets est le produit de 20 % des causes.      D’un point de vue pratique, on utilise souvent un classement en trois groupes (80‐15‐5) au  lieu de deux, d’où l’appellation ABC

fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 49 49 52 54 56 57 58 59 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète Loi de Dirac Loi uniforme Loi binomiale ou loi des tirages avec remise Loi multinomiale Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé

Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Polynômes orthogonaux et équations différentielles . . . . . . . . . . . . . 107 Fonctions harmoniques et polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . 109 III Approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 III.1 III.2 III.3 Le théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Courbes de Bézier et algorithme de De Casteljau . . . . . . . . . . . . .