Loi uniforme discrète

2.1 Définition de la quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Quantification Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Caractéristique de quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Caractéristique de l’erreur de quantification, cas de la quantification uniforme . 2.5 Dynamique d’un quantificateur uniforme N bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Variables Aléatoires Discrètes Issam Elhattab École Nationale de Commerce et de Gestion - Casablanca Université Hassan II - Mohammedia 2011 - 2012 I. Elhattab (ENCG) Variables Discrètes 2011 - 2012 1 / 27 Sommaire 1 Définition de variable aléatoire (v.a.) 2 Loi d’une v.a. discrète 3 Fonction de répartition 4 Moments d’une v.a. discrète 5 Quelques lois usuelles discrètes I. Elhattab (ENCG) Variables Discrètes 2011 - 2012 2 / 27 Définition

montre donc que Ck,n est simplement n ce que nous voulions d´montrer. e k Exemple 3. Si p est un r´el et n un entier on a e n 1 = (p + (1 − p))n = k=0 n k p (1 − p)n−k . k Cette ´criture de 1 comme une somme fait apparaˆ les coefficient de la loi binomiale B(n, p) (voir e ıtre la partie 9). 2 2.1 Compl´ments d’analyse pour les probabilit´s e e S´ries doubles positives e Soit (ai,j )(i,j)∈N2 une famille de coefficients positifs (cette hypoth`se est importante ; sans elle ce e qui suit

probabilité B. Probabilités conditionnelles TABLE DES MATIÈRES • V II. Variables aléatoires à une dimension A. Définitions 142 B. Loi de probabilité d’une variable aléatoire C. Loi d’une fonction de variable aléatoire Couple de variables aléatoires A. Fonction de répartition d’un couple aléatoire B. Loi d’un couple aléatoire discret C. Loi d’un couple de variables aléatoires continues 142 144 149 151 151 151 154 155 156 162 163 164 166 172 176 179 181 181 183 184 185 191 193 198

tribus d’événements . . . . . . . . 2.1.1.4. Exemples de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Probabilités, espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . 2.1.2.1. Exemple des éventualités équiprobables . . . . . 2.1.2.2. Espaces probabilisés discrets . . . . . . . . . . . . 2.1.2.3. Propriétés élémentaires des probabilités . . . . . . 2.1.2.4. Ensembles, Événements négligeables . . . . . . . 2.2. Probabilité conditionnelle et indépendance . . . . . . . . . . 2.2.1. Probabilités conditionnelles

les particules sédimentent en masse ; cette masse présente une interface nette le liquide surnageant. C'est le cas en particulier des flocs d'alumine et des boues activées. II- Décantation discontinue La vitesse de sédimentation d'une particule discrète est déterminé à partir de l'équilibre entre par la force de pesanteur et celle des frottements visqueux appliquées sur la particule. Ces deux forces s’exerçant sur une particule (exemple particule sphérique) de masse volumique (ρS) dans un effluent

probabilisés Probabilité conditionnelle et indépendance en probabilité Variables aléatoires réelles. Variables aléatoires discrètes Moments et fonctions génératrices d’une v.a. discrète Couples de variables aléatoires discrètes. Indépendance Lois discrètes usuelles finies Lois discrètes usuelles infinies Variables aléatoires continues Loi normale ou de Laplace-Gauss Lois dérivées de la loi normale Lois continues Simulation d’une expérience aléatoire Convergences. Théorèmes limites. Approximations Vecteurs

MIDO M1 MMD Processus discrets Universit´e Paris-Dauphine 13/14 [v.1 20130930] TD1. Esp´ erance conditionnelle. Exercice 1 Soient X une v.a. int´egrable d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω, F, P), et B une sous-tribu de F. 1. Rappeler la d´efinition de E(X|B). 2. Compl´eter les ´egalit´es suivantes : a) E (E(X|B)) = b) Si X et B sont ind´ependantes, E(X|B)= c) Si Y est une v.a. B-mesurable et si XY et X sont int´egrables, E(Y X|B)= d) Pour toute v.a. Z B-mesurable et born´ee, E (ZE(X|B)) = Exercice

.................................................................................... 6 C- Exemples de lois de probabilités discretes...................................................................................... 9 I - La Loi Binomiale ......................................................................................................................... 9 II - La Loi de poisson................................................................................................................

Chapitre 8 Variables aléatoires réelles discrètes 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2 Séries doubles convergentes 3 Indépendance de variables aléatoires réelles discrètes 4 Espérance et conditionnement des variables discrètes Chapitre 9 Vecteurs aléatoires discrets 1 Couples de variables aléatoires réelles discrètes 2 Variable aléatoire fonction d’un vecteur discret 3 Vecteurs aléatoires discrets à valeurs dans Rn Chapitre 10 1