Majorant

que l’équation f ( x) = x admet une seule solution, que l’on notera . 5) On note J l’intervalle fermé J = [1/2, 1]. 5a - Montrer que   J. 5b - Montrer que pour tout x  J, f ( x )  J. 6) Montrer que,  x  J, f ' ( x)  M , où M est le meilleur majorant de f ' ( x) , que l’on calculera. 7) On définit la suite de terme général u(n), n entier, par u(0) = 1 et u(n+1) = f (u(n)). Montrer, par récurrence, que  n  N, 1/2  u(n)  1. 8) Démontrer que,  n  N, on a l’inégalité (E) suivante : (E)

d’assimilation (mobilisation des connaissances) * Le conflit cognitif (déstabilisation temporaire vis à vis du problème) * L’accommodation (remise en question, construction des connaissances manquantes, adaptation) * L’équilibration majorante (résolution de problème, anticipation de nouvelles situations problématisantes. L’étudiant devient alors acteur de sa formation, ce qui favorise une relation horizontale (moins hiérarchisée) avec l’enseignant. C’est un modèle auquel les étudiants

partie de R. On dit que a est un majorant de A si x de A. Si A admet un majorant, on dit que A est majorée. On définit de même : minorant, plus petit élément, partie minorée. • Unicité Si une partie non vide de R admet un plus grand élément, ou un plus petit élément, il est unique. Mais il peut ne pas exister. Analyse dans R Si, en plus, a ∈ A, alors a est le plus grand élément de A, noté max A. 3 1 Nombres réels Surveillez votre vocabulaire : un majorant, le plus grand élément. •

2rt,x ), sur lesquels on a une in´galit´ (3) avec une constante kt,x . Le e e compact [t1 , t2 ] × K est recouvert par un nombre fini de Iti ,xi × B(xi , rti ,xi ). Soit r le plus petit des rti ,xi , soit k le plus grand des kti ,xi et soit M un majorant de |f | sur [t1 , t2 ] × K. Soient t ∈ [t1 , t2 ] et x1 , x2 ∈ K, avec (t, x1 ) ∈ Iti ,xi × B(xi , rti ,xi ). Si x2 ∈ B(xi , 2rti ,xi ), on a la majoration (3) avec k ; sinon, x1 − x2 ≥ rti ,xi ≥ r et on a la majoration (3) avec 2M/r. 1Pour ´

démonstration ci-dessus et donc ( ) ( ) alors ( ) ( ) ( par conséquent ( ) ) ( ) Allez à : Exercice 44 : 3. est non vide et majoré par ( ) car est croissante donc admet une borne supérieure . ( ) est un majorant de et est le plus petit des majorant donc ( ) est non vide et minorée par ( ) car est croissante donc admet une borne inférieure . ( ) est un minorant de et est le plus grand des minorants donc 47 ( ) Allez à : Exercice 44 : 4. Nous allons utiliser le fait

et conclure. [ S ] e www.mathprepa.fr Page 1 ´ Enonc´ e ` Probleme 4. On note RQ l’ensemble R muni de sa structure d’espace vectoriel sur Q. (a) Montrer que KE est un sous-espace vectoriel de dimension finie de RQ . Pr´ciser un majorant de la dimension de KE , en fonction de n = card(E). [ S ] e (b) Dans cette question, on va red´montrer que KE est un corps. e Soit x un ´l´ment non nul de KE . Pour tout y de KE , on pose ϕ(y) = xy. ee Montrer que ϕ est un automorphisme du

limite dans l’in´galit´ pr´c´dente, on obtient ||| h ||| a e e e e et on a obtenu l’in´galit´ inverse au [c] donc d(x0 , H) = e e |h(x0 )| . ||| h ||| |h(x0 )| donc d(x0 , H) d(x0 , H) 2) a) On a ∀n ∈ N, 1 2 donc u ∞ un et cette s´rie majorante converge car c’est une s´rie g´om´trique de raison e e e e 2n+1 2n+1 un est absolument convergente . 2n+1 n∈N b) D’apr`s [a], h est bien d´finie. Pour tout (u, v) ∈ E 2 et λ ∈ R, on a e e h(u + λv) = un + λvn un vn = +λ = h(u) + λh(v) 2n+1 2n+1

redistribution, à la fois horizontale et verticale. Le premier système permet par exemple d'instaurer une solidarité entre les actifs et les retraités ou bien encore entre les bien-portants et les malades. Le second permet une redistribution des revenus en majorant la contribution des plus aisés et en minorant celle des plus modestes. b) Un objectif atteint dans de nombreux domaines La seconde moitié du XXe siècle a enregistré un important recul des inégalités et de la pauvreté. Ainsi, l'écart des salaires

de . Allez à : Correction exercice 9 : . Exercice 10 : ) ( ) ( ) Dans , on définit la relation en posant ( 1. Montrer que est une relation d’ordre. Est-ce une relation d’ordre total ? )} et représenter les dans 2. Déterminer l’ensemble des majorants et des minorants du singleton {( {( ) ( )}. Déterminer 3. Soit et . Allez à : Correction exercice 10 : . 2 Relation binaire Exercice 11 : Soient un ensemble fini non vide et relations d’ordre sur ( ) ? 1. ( ), 2. ( ), 3. 4. ( ), ( ), )

déperditions scolaires. Au niveau de l’enseignement primaire, le redoublement concerne annuellement près de 25% des élèves, soit environ 700 000 redoublants par an. Dans la même proportion, il réduit les capacités d’accueil de l’école, tout en majorant les coûts de l’éducation pour l’Etat et pour les familles. Il contribue également à la création de goulots d’étranglement, notamment l’inscription au CP1, les transitions CM2/6ème. L’enquête MICS 3 révèle que seulement 52 % des enfants qui entrent