Majorant

nombres décimaux, nombres rationnels. La construction de ces ensembles de nombres est hors programme. Droite réelle. Faire le lien avec la géométrie. La construction de R est hors programme. Distance entre deux réels. La relation d’ordre dans R : majorant, maximum, minorant, minimum. Borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie non vide majorée (resp. minorée) de R. Partie entière d’un nombre réel. Approximations décimales d’un nombre réel. Déterminer les bornes supérieure et inférieure éventuelles

de maladies hypertensives et induisant par vaso-constriction de l'hypertension, voire de lésions articulaires de type rhumatismal (Stora, 1991). Le stress est aujourd'hui, sans conteste, reconnu comme un facteur de risque, c'est-à-dire un facteur majorant la probabilité de l'apparition et de la rechute d'une affection cardiaque (Niedhammer et col. 1997). Ainsi, ces modifications métaboliques conduisent à une altération de l'organisme ; altération du système immunitaire susceptible d'engendrer des

sens de Riemann On en déduit que A+ (f ) (resp.A− (f )) possède donc une borne inférieure (resp. borne supérieure) notée I+ (f ) (resp. I− (f )). Ensuite pour toute ψ, φ ∈ E ([a, b)] telle que φ ≤ f ≤ ψ on trouve I (φ) ≤ I (ψ). D'où I (ψ) est majorant de A− (f ), il en résulte que I− (f ) ≤ I (ψ). Cela signie que I− (f ) est un minorant de A+ (f ), d'où I− (f ) ≤ I+ (f ). Mars 2012 Intégrale des fonctions en escaliers Fonctions Intégrables au sens de Riemann Propriétés de l'intégrale de

précision la courbe représentative de f (unité : 1 cm en abscisse, 3 cm en ordonnée), puis, à l’aide de la droite y = x , placer les 4 premiers points de la suite. 2. Conjecturer le sens de variation de la suite  nv , ainsi qu’un minorant et un majorant de cette suite. 3. Démontre les conjectures précédentes par deux récurrences distinctes. Exercice 12 : Reprendre les trois questions de l’exercice 11 avec : Soit la suite  nv définie par : 0 7 4 v  et n  , 1 4 3nn v v    Exercice

de la suite. Il y a beaucoup de théorèmes à connaître ; signalons les plus importants : - toute suite monotone bornée est convergente ; - le théorème dit « d’encadrement » ; - le théorème de prolongement des inégalités. Bien remarquer qu’un majorant (ou un minorant) d’une suite doit être indépendant de n. Avant d’utiliser le théorème de prolongement des inégalités, il faut toujours avoir montré que les suites auxquelles on appliquera ce résultat sont convergentes. Bien noter que le théorème

d’une relation d’ordre . Soit A une partie de E et e x un ´l´ment de E. ee – On dit que x est un majorant de A si pour tout ´l´ment a de A, a x. ee – On dit que x est un plus grand ´l´ment de A si x appartient ` A et en est un majorant. ee a – On dit que x est une borne sup´rieure de A si x est un majorant de A et si pour tout e majorant y de A on a x y. – On dit que A est major´e, si elle admet un majorant. e On peut bien sˆr ´crire des d´finitions analogues pour les minorants. Noter que par antiu e

antisymétrique et transitive. – Si f est monotone et bijective, f −1 est monotone de même sens lorsque E est totalement ordonné. – Le plus grand élément (∀x ∈ E, x M ), un élément maximal (∀x ∈ E, M x ⇒ x = M ) et la borne supérieure (le plus petit des majorants). – Pour un ensemble (E, ) totalement ordonné, S ∈ E est la borne supérieure de F ⊂ E si, et seulement si, ∀x ∈ F, x S et ∀c < S, ∃x ∈ F, c < x. – Toute partie non vide de N admet un plus petit élément. – Toute partie non vide et majorée de N admet

Il existe r > 0 tel que |x| < r. Ceci implique |an xn | ≤ |an |rn et d’après le théorème de comparaison la série an xn converge absolument. 3) {0} ⊂ I ⊂ R∗ , I {0} et I R∗ . a) I est majoré. En effet, soit r ∈ R∗ \I et supposons que r n’est pas un majorant de I. Il existerait alors r1 ∈ I tel r < r1 . D’après la définition de I, la série |an |rn est convergente ainsi que 1 |an |rn (car |an |rn < |an |rn ) et donc r ∈ I ce qui est en contradiction avec l’hypothèse r ∈ R∗ \I. 1 I est alors un ensemble

lesquelles la valeur est établie au niveau des salaires versés à la main-d’œuvre salariée; le travail de l’exploitant et de sa famille consacré à la construction d’immobilisations et les dons reçues en héritage, pour lequel la valeur est capitalisée en majorant le coût des immobilisations concernées. ♦ ♦ Étude sur le coût de production de la tomate de serre 2001 27 ANNEXE 2 1. COÛT DE PRODUCTION SANS LES FRAIS DE MISE EN MARCHÉ Le coût de production sans les frais de mise en marché permet

Exercice 7 : Soit T un triangle ABC. Un point M intérieur au triangle se projette en P, Q, R resp. sur les côtés BC, CA, AB. On note S l’aire du triangle, a = BC, b = CA, c = AB. i) Montrer que 2S = a.MP + b.MQ + c.MR. ii) En déduire un majorant de f(M) = MP.MQ.MR. iii) Montrer que f(M) est maximale ssi M est le centre de gravité du triangle. Mentionnons pour finir (cf. mes Problèmes sur les séries) : Théorème (inégalité de Carleman). Soitune série convergente à termes > 0. Alors la