Majorant

ont la mˆme e a e d´riv´e, la condition en 0 prouve qu’elles sont ´gales. e e e Partie V. Un r´sultat g´n´ral. e e e Dans toute cette partie, on suppose X ◦ non vide. 1. L’in´galit´ de la question I.7. entraˆ que pour chaque x de X, f (x) est un majorant de e e ıne {mx − f ◦ (x), m ∈ X ◦ } d’o` u ∀x ∈ X, 2. f (x) ≥ sup {mx − f ◦ (x), m ∈ X ◦ } a. Il est clair que m ∈ [m1 , m2 ] si et seulement si 0 ≤ m2 − m ≤ m2 − m1 . Si on pose m −m a t = m22−m1 c’est ` dire m = m2 − t(m2 − m1 ) = tm1 + (1 − t)m2

la démarche d’un scientifique qui essaie de bâtir une théorie. Chaque rééquilibration successive se caractérise par l’intégration des structures de fonctionnement antérieures dans une nouvelle structure qui la dépasse … c’est l’équilibration majorante. * Les stades de développement : Cinq critères pour définir un stade : * L’ordre de succession des acquisitions doit être constant, c'est-à-dire que tous les stades doivent se succéder dans le même ordre. On ne peut donc pas sauter un

géométrique et des pertes de charges, exprimées également en m d’eau. La hauteur manométrique détermine le choix de la pompe. Dans les installations simples : longueur de tuyaux d’aspiration et de refoulement courte, (quelques mètres), on la calcule en majorant simplement de 15% la hauteur géométrique. Détermination de la puissance Lorsque les tuyauteries sont longues, les pertes de charges linéaires doivent être calculées (abaque). De plus on doit tenir compte des pièces spéciales : clapets , vannes

donc e a e que le discriminant de cette ´quation soit n´gatif (ou nul), c’est-`-dire que |b(ω)| ≤ 1 e e a quel que soit ω. Ceci revient ` demander s ≤ 1. R´´crite en fonction de ∆ et ∆x, cette a ee condition est c ∆t ≤ ∆x . Ce type de condition, majorant le pas de temps en fonction du pas d’espace, est appel´ e condition de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL en abr´g´). Par extension, le nombre sans e e dimension c ∆t/∆x est souvent appel´ nombre CFL e ∆ Cependant, cette condition CFL est ici insuffisante

Assurons nous déjà de la convergence de la série. Pour se faire, l'on xe x, y dans [0, 1] et l'on note ak (x, y) le terme général de la série : sinh( 2(cos(kπ) − 1) ak (x, y) = sin(kπy) 3π3 k kπ(1−x) ) n + sinh( kπx ) n sinh( kπ ) n En majorant tout les termes sinusoïdaux par 1, on a : |ak (x, y)| ≤ 4 sinh( k3π3 kπ(1−x) ) n + sinh( kπx ) n kπ sinh( n ) La fonction sinus hyperbolique étant croissante, et x étant un élément de [0, 1], on a sinh( kπ(1−x) ) ≤ sinh( kπ ) et sinh(

Il existe r > 0 tel que |x| < r. Ceci implique |an xn | ≤ |an |rn et d’après le théorème de comparaison la série an xn converge absolument. 3) {0} ⊂ I ⊂ R∗ , I {0} et I R∗ . a) I est majoré. En effet, soit r ∈ R∗ \I et supposons que r n’est pas un majorant de I. Il existerait alors r1 ∈ I tel r < r1 . D’après la définition de I, la série |an |rn1 |an |rn (car |an |rn < |an |rn1 ) et donc r ∈ I ce qui est en est convergente ainsi que contradiction avec l’hypothèse r ∈ R∗ \I. I est alors un ensemble

aussi l'occasion dans le cas de fonctions continues et monotones de démontrer de nouvelles propriétés sur les suites et les intégrales4. Pour allier la rigueur à l'intuition dans cette démarche, il est nécessaire de les accompagner du calcul de majorants des erreurs, bien sûr lorsque celui-ci est suffisamment simple. Si une telle définition est adoptée dans un cours de terminale scientifique, peut-on objecter que le temps requis pour les deux chapitres dépasse, en proportion, la place du sujet

On définit, pour n ≥ 1, la suite (un ) par un = 1 2 n + + ... + n . 31 32 3 a. Quel est le sens de variation de (un ) ? k 3 b. Montrer par récurrence que pour tout entier k ≥ 1, k −   ≤ 0 . En déduire que, pour tout k ≥ 1, 2 k 1 puis un majorant de un . Que peut-on en conclure pour (un ) ? ≤ 3k 2k 1 3. On définit pour n ≥ 1 la suite ( vn ) par vn = un + . En utilisant la question 1), montrer que ( vn ) est n décroissante. Quelle est la limite de ( vn − un ) ? Que peut-on en conclure pour

+D=FEJHA $ Suites : Une introduction 6.0.30 Motivation 1 1 1 Soit xn := 1 + + · · · + . Alors xn+1 = xn + et (xn ) est croissante. Pour que (xn ) converge 2 n n il sut qu'elle soit bornée. L'utilisation des calculs numériques pour trouver un majorant nous conduit à un désarrois total. En eet, un ordinateur montre que xn ∼ 11.4 pour n = 50, 000 et xn ∼ 12.1 pour n = 100, 000. Par suite on peut penser que (xn ) est bornée mais ( ) 1 1 1 x2n = 1 + + · · · + + 2 2n−1 2n ( ) ( ) 1 1 1 1 1 + + ···

SAGMA0%C2:LIV001P-0:5563-QPolitiques de population et développement humain au Maroc : bilan des cinquante années passées CERED Haut Commissariat au Plan Introduction ..................................................................................................................7 1. Politiques de population et développement humain : concepts, définitions et interrelations ...............................................................8 2. Évolution du développement humain au Maroc (1960-2003)